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96.-Soitienfinyir tu, cr RU RE UNIPONMOMERETHERDAE rapport aux variables zx,y, z, …, dont les coefficients font partie du domaine (R', R',...); on peut le mettre sous la forme CURIMR ES D'RPREUPUEE) où © et Y sont des polynomes entiers par rapport à R’, R', ... sans diviseur commun et f un polynome entier par rapport aux variables zx, y, z, .…., les coefficients étant de même des fonctions entières, à coeflicients entiers, des paramètres R’, R”, .…., sans diviseur commun entier par rapport à ces paramètres. La recherche des diviseurs de f est basée sur les trois lemmes suivants :

PLU REA AR re

LEMME I. — Si le produit de deux fonctions entières de q variables Z, Y,%, .…, à coefficients entiers, est divisible par une fonction entière de q—1 de ces variables, y,3,..., également à coefficients enhers el irréductible, l’une des deux premières fonctions est divisible par la troisième.

LEMME IT. — Si le produit de deux fonctions entières de q variables, à coefficients entiers, est divisible par une fonction entière des mêmes variables, à coefficients entiers et irréductible, l’une des premières fonctions est divisible par la troisième.

LEMME II. — Si une fonction de q variables, à coefficients entiers, est le produit de deux fonctions entières par rapport à l’une de ces variables et rationnelles par rapport aux autres, elle est le produit de deux fonctions entières par rapport à toutes les variables.

Supposons ces lemmes démontrés dans le cas où les fonctions

contiennent respectivement une variable de moins. Pour démontrer le premier, considérons la fonction gly, :,.…), entière par rap-

RÉDUCTIBILITÉ DES FONCTIONS ENTIÈRES D9 porta g—1 variables ct irréductible, divisant le produit CE U Me LPS).

ordonnons ces deux polynomes suivant les puissances de x et soient

o(x, VU, 3,.. + = ao(y, Z,.. 100 FU die À Ces

DU DU ne bete ide Po D

Si tous les coefficients de + ne sont pas divisibles par g, et si

CAMEROUN est l'ensemble des termes de © non divisibles par cette fonction, le produit de «,% doit l'être ; en écrivant que les coefficients du produit sont divisibles par g, et appliquant le deuxième lemme au cas de TMVaAriaDles "onmoitnquen bd, 101,7.) 0, #sontitous” divisibles par g, ce qui démontre le premier lemme.

En ce qui concerne le second, soit f(x, y, z, .…) une fonction entière irréductible des q variables divisant le produit CARTES CE ETES AE Si © n’est pas le produit de f par un polynome entier, ordonnons ces deux polynomes par rapport aux puissances décroissantes de +, et divisons © par f par rapport à cette variable ; la division n'aura pas lieu exactement, même avec des coefficients rationnels en y,z, .…,; en effet, sil'on avait, après réduction des termes du quotient au même dénominateur, Ut)

DÉBUR D EN ÉDEUE rs Mn UE EU

d'où

ay, 3,...)e(e, y, 3, .) = fa, y, 3,.. jy, y, 5...) tout facteur irréductible de y, divisant le second membre et ne divisant pas le polynome irréductible f, diviserait y d’après le premier lemme démontré, et e serait le produit de f par un polynome entier, contrairement à l'hypothèse.

On peut donc, d’après la théorie du plus grand commun diviseur, trouver deux polynomes +, et jf, entiers en x, à coefficients ra- Honnelsénmer, sr, utelsque

fa + on = 1, ou bien, en mettant le dénominateur commun en évidence,

MÉPAE NN CÉ USE RO Lee poT UE = qu z ne),

Où 2, et g sont des polynomes entiers ; on en déduit

le premier membre est, d'après les hypothèses faites sur le produit où, un polynome entier, M A(T, y, 3...) "et l'on!a

JUS ee DC OU RE U RRe LU EURE ER d'après le premier lemme démontré, les facteurs irréductibles de 9 doivent tous diviser », de sorte que k—glu; alors v=fh et f divise d, ce qui démontre le deuxième lemme.

Poursvérifier l'exactitude du troisième, soitM/(æ,.y, 3, "June fonction entière de qg variables égale au produit de deux fonctions DE UE NON EUR (TU, RS NMeNTtiÈTES DATA DDO LUE rationnelles par rapport à y,z3, ...:; en mettant en évidence les dénominateurs communs, on aura

(æ, Y; rh) Ux, ÿ; 7,...)