CHAPITRE IX

64. Soit une équation de degré n, Be ER A So RS at PSN RP EN E

nous supposons que les coefficients font partie du domaine de rationalité (R’, R", .….), défini par des paramètres arbitraires et indépendants R’, R',... comme nous l'avons expliqué au chapitre VI, et que le polynome /{x) est irréductible dans ce domaine ; nous dirons que l'équation est résoluble algébriquement si l’on peut y satisfaire identiquement en substituant à x une expression formée au moyen des éléments du domaine et des signes des opérations suivantes de l'algèbre : addition, soustraction, multiplication, division, élévation à une puissance d’exposant entier, extraction de racine d'indice entier, en nombre limité ; nous dirons aussi que l'équation est résoluble par radicaux.

Comme l'extraction d’une racine d'indice pq se ramène à deux extractions successives de racines d'indices p et qg, on peut toujours supposer que les radicaux qui entrent dans l’expression de la racine sont d'indice premier ; c’est ce que nous ferons désormais.

Avant de chercher si une équation est résoluble algébriquement, il est nécessaire d'étudier la formation des expressions algébriques. La suite des calculs à effectuer pour arriver à une telle expression peut toujours se ramener à la série suivante d'opérations :

(*) Ce chapitre est extrait, en grande partie, de l'ouvrage déjà cité de M. Nerro, Substitutionentheorie, chap. 13, p, 235.

1° Calcul d’une fonction rationnelle des éléments du domaine RARE

2° Calcul d’une racine V, d'indice premier p, de cette fonction rationnelle ; nous supposons que F, n’est pas la puissance exacte d'ordre p, d’une fonction du domaine donné, car sinon on prendrait cette fonction comme valeur de V,, qui ferait ainsi partie du domaine primitif; V, est par suite une quantité nouvelle définie par l'équation