X: — d ae L p+1 ie La p+1 vi + T(g-4) p
X2 — Lo a re Ty TO es V(q 1) p+2»
Xp = Ly + Lop + Yop
des racines de chacune d'elles; si elles sont connues, on peut calculer toutes les fonctions symétriques des racines de chaque série, car elles appartiennent au même groupe de substitutions que la somme X correspondante, et s'expriment rationnellement au moyen de cette somme et des coefficients de l'équation.
La connaissance des fonctions X4, X:, ...,X, entraine ainsi celle des coefficients des p équations dans lesquelles se décompose l'équation donnée.
Pour déterminer les quantités X, nous formerons l'équation de degré p dont elles sont les racines,
F(X) = X? + XP + CXP 2H + CO, = 0,
Les coefficients appartiennent tous à un même groupe de substitutions des variables x, celui que l'on obtient en permutant dans chaque série les éléments x de toutes les manières possibles, et en permutant les séries entre elles ; il a pour ordre (q!}?p!, de sorte
que Ci, C,.…, CG, s'expriment rationnellement au moyen d'une seule fonction y appartenant au groupe précédent, et racine d'une nil
équation de degré IG Quant aux racines de l'équation F(X) = 0, on les obtiendra,
puisque p est premier, en appliquant la méthode précédemment décrite, c'est-à-dire en résolvant une équation de degré (p — 2) ! et extrayant des racines d'indices p—1 et p.
On a donc, en posant n — pq, où p est premier : 1° à calculer
une racine y d'une équation de degré à coefficients connus;
2° à calculer une racine d’une équation de degré (p—2)! dont les coefficients sont des fonctions rationnelles de la racine y calculée ; 3° à éxtraire une racine d'indice p—1 et une autre d'indice p ; 4° à résoudre p équations de degré qg. Si q est un nombre
composé, on pourra répéter ce qui précède pour ces nouvelles équations.
Ainsi, pars exemple, pour, n— 4. p—tg22; Ja tmiettionte précédente conduit à poser Xi = %+ 3, X2 = 2 +, ; les coefficients de l'équation F(X) — 0 dépendent d'une racine d'une équation du troisième degré qui est précisément l'équation résolvante de Lagrange ; on a alors X, et X, en extrayant la racine carrée d'une fonction rationnelle par rapport à e,, et il reste à ré-
soudre deux équations du second degré.
Pour n >4, l'équation résolvante de degré PAC] est d'un p\(q!
degré supérieur à n ; il n’y a que pour des équations spéciales que les recherches précédentes conduisent à la résolution d’une équation de degré > 4.
