NUE RAIN ER ARE

4° Adjonction de V,, au domaine déjà formé, formation d’une fonction rationnelle du nouveau domaine F, AV, ,, V,, R', R’,...) contenant ou non V,, et V,, et ainsi de suite.

On peut donc représenter la formation d’une fonction algébrique æ, telle que celle dont nous avons parlé par la chaîne suivante d'équations :

NASA R ARE) NS TRE N RRR ORENS (2) NORRIS NAN PAR AR RSS NES RON VS IN ER tn re UN EN RAR aber où les fonctions F sont rationnelles et les nombres p premiers absolus.

65. Nous allons montrer comment on peut simplifier la forme des fonctions F, mais nous commencerons par démontrer un théorème fondamental dont nous ferons souvent application.

THÉORÈME. — S1 les équations (3) FEU N PE e m rtf o == 0, (4) LP IP (

ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES RÉSOLUBLES 109

où p est premier, sont satisfaites simultanément, ou bien

fhi=fi=..=f,=0, ou bien l’une des racines de l’équation (4) s'exprime rationnellement UUMOUCEURR Te Rare CRE)

En cffet, supposons que les coeflicients de l'équation (3) ne soient pas tous nuls; les équations (3) et (4) devant être satisfaites simultanément, les premiers membres doivent avoir un plus grand commun diviseur

LÉ HR EE + ox dont les coefficients s'expriment ralionnellement au moyen de K, fi, f2,..., fn; S'il est du premier degré, il donne, égalé à zéro, une racine de l’équation (4) exprimée rationnellement; s’il n’est pas du premier degré, et si x, est une des racines communes, les autres seront de la forme uw, œiuf, ..., Où w est une racine p° de l'unité, et l’on aura en effectuant leur produit

“res 7 — ST pure Ti = D N :

mais on peut trouver deux nombres u et v tels que ku+ po = 1; alors, en élevant les deux membres extrêmes à la puissance uw, on a 7 Sie oY — LPO — SHONANELE d'où PC —— a DEF,

et le premier membre, qui est une racine particulière de l'équation EUR exp Ne rauonnelementtaumOoyen Te AE 2. Le

0 0 r M r théorème se trouve ainsi démontré.

66. Cela posé, je vais montrer qu’on peut mettre les fonctions F de la chaîne d'équations (2) sous forme d’une fonction entière par rapport aux éléments V, avec des coefficients rationnels par rapportà R',R",... Supposons par exemple que F,, ne soit pas HOÉRIONCLIDONCNUOECRDATEEADDOELMAMNN IN EE TN MOIS DENT d’abord la mettre sous forme du quotient de deux polynomes entiers

et écrire Go + GiV, +:

Eu = = —— \, : H, + HV, +:

(*) ABez (OEuvres complètes, t. Il, p.196) a énoncé le premier ce théorème; c'est Kroxecker (Monatsberichte, 1879, p. 206) qui lui à donné sa signification précise.

OÙ Go: C1, HR Hi mmisontientierSIDANrAPDOrE UNE PEN puis ramener le numérateur et le dénominateur à ne contenir que

les puissances de V, au plus égales à p,—1 d’après l’équation

(5) NÉE RIN 0 NP AR ARE Si V, entre encore au dénominateur de F,,, désignons par , Vi, … les autres racines de l'équation précédente; elles satisfont à l'équation X?a — Vis (6) en A 0 CS

Le produit 10H EN BE A CRI CAE

n'est pas nul, car si l’un des facteurs l'était, une des racines Va, Va, ... satisferait simultanément à l'équation (5) et à une équation de degré p,—1 au plus dont les coefficients H,, H;,... ne sont pas tous nuls; d’après le théorème précédent, une des racines de l’équation (b) serait rationnellement exprimable au moyen denev sn VOS NRC ON PSG Tal UE DUI SaTee pa exacte, contrairement à l'hypothèse.

Multiplions alors les deux termes de F,, par le produit Il; le dénominateur est symétrique par rapport aux racines de l'équation (H)*ets'exprimesrationneHémenttanmOoyenI Net NRC numérateur est le produit d’un polynome entier par rapport à V, et d’une fonction Il symétrique entière par rapport aux racines de l'équation (6) et s'exprimant par conséquent d'une manière entière par rapport à V,. On obtient ainsi comme expression de F,, un polynome entier par rapport à V,; si les coeflicients sont fractionnaires par rapport à V,,,, on opérera de la même manière par rapport à cette quantité, et ainsi de suite, de sorte que F,, sera une fonction entière des éléments V,, Vo4,..,N)" avec -des-coeficients rationnels dans le domaine primitif.

Le calcul étant ainsi effectué de proche en proche à partir de K,, on peut supposer de plus que chaque élément tel que V, entre à une puissance au plus égale à p,—1, car sinon on utiliserait l'équation Vi: — FF, pour exprimer les puissances supérieures de V,; par ce calcul les fonctions F ne cessent pas d’être entières par rapport aux éléments qu’elles renferment. On peut donc écrire

Fi = Jo V, + JV? +, iViat,

oùles1JeSOntiUdestfonchonsenteres deMNEM NE Rav

ÉQUATIONS ALGEBRIQUES RÉSOLUBLES , 111

67. On peut aller plus loin dans cette réduction dans le cas où V, entre effectivement dans l'expression précédente, et faire en sorte que le coeflicient du terme du premier degré J, soit égal à l'unité.

Soit J, un des coeflicients J,,J,, ..., Jp,1\ qui ne soit pas nul; posons

(7) JVe —= wW> il existe deux nombres « et v dont le premier n'est pas nul, tels que

ku + pv = 1; alors, en élevant à la puissance x les deux membres de l’équation (7), on obtient DEN ENENE RE Ne d'où l’on tire

(8) V = WEdit; les équations (7) et (8) montrent que V, et W, s'expriment rationnellement l’un par l’autre et par les éléments suivants :

NN en de sorte que les deux domaines de rationalité ANNE ec ON RIRE) NVPRAN ER AN CA RS RENE)

sont équivalents ; d'autre part il n'existe aucune puissance de W, inférieure à p, qui s'exprime rationnellement dans le domaine ON Car SOU Danexemple

W1 — PINCE, RGO ET ie pour q inférieur à p,, on aurait, en partant de l'équation (7),

JÉVÉAE=ELD INSERT EVE Me | et comme le produit des deux nombres # et q n’est pas divisible par le nombre premier »,, on en conclurait qu'une puissance de V,

inférieure à p, serait rationnellement exprimable, ce qui est impossible. Par contre, en élevant W, à la puissance »,, on a

RES REV PR ER NE RER Rent:

on déduit de ce qui précède que W,, comme V,, est fourni par une équation binome de degré p, dans le domaine (V,,:,...), et qu'on peut les remplacer l’un par l'autre dans la chaine d'équa-

tions (2) ; dès lors on peut introduire dans F,, et dans les fonctions suivantes F, 2, ... F, W, à la place de V,. Dans F,. on remplacera, en se servant de l'équation (8), J;Véupar J;(F'J;#4) Wen, cette fonction est de la forme L,'W?}', en désignant par bd! le nombre compris entre À et p, qui diffère de uh d'un multiple de p,, ét pareLunertonctionrauonnellé tee eN re An peut ramener à une fonction entière par rapport à ces quantités. En remarquant que les nombres uh(h=1,2,...,Pa 4)

ont pour restes positifs (mod.») des nombres distincts de la suite 1,2,...,p,.—1 et que & est la seule valeur de À donnant pour reste {, on voit que l’on a FE =d,+W +LWi +... + L,-1 Was !, où Jo, L2,...,L, 1 peuvent être supposés entiers par rapport à VER Vis»,..., V,. Nous conserverons la forme d'équation Vas = Fu = LH V +RVi+:... + Je

en remplaçant W, par la lettre V,, et nous supposerons désormais que la réduction précédente ait été effectuée pour toutes les fonctions V ; nous aurons en particulier

Di 00 Nas NU IN Re

68. Nous allons appliquer ce qui précède à l'expression algébrique qui satisfait identiquement à une équation résoluble. Supposons qu'elle soit fournie par la chaîne d'équations (2), où les fonctions F ont la forme que nous venons d'indiquer ; formons les différentes puissances de x, en ayant soin de réduire les exposants de Vi, V:, 00 être inférieurs respectivement ap; Det. Mau moyen des équations de la chaîne, et substituons-les dans le polynome f(x); nous aurons le résultat

(9) = 0 AN EAN eee NES OU MH H,%H; sMsSontides fonctions entières de Vs Var e e il doit être identiquement nul.

D'après les hypothèses faites sur les fonctions F, cela ne peut AVOITRLIEUAUQUC SO OT RENTE H,,1 — 0, car sinon l'équation obtenue en annulant le polynome précédent entier en

V, et l'équation déc — Fi(Ve; Na 3 6000 \?, R’, ie 3e à

ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES RÉSOLUBLES 119

seraient satisfaites simultanément, et, d'après le théorème préliminaire, F, serait la puissance p,° exacte d'une fonction du domaine (Ve, Vs, .…), ce qui est contraire à l'hypothèse.

De la même manière, chaque fonction H mise sous forme d’un polynome entier par rapport à V;, avec des coefficients entiers par rapport à V:, V;, ..…, tel que

H=K,+KV:+KVi +: + Kp,-1 Var, doit avoir ses coeflicients K,, K;, ..…., K,1 nuls pour une raison analogue, et ainsi de suite.

S'il arrive, dans quelques cas particuliers, que certains des polynomes successifs, ordonnés suivant l'élément V de moindre indice qu'ils renferment, n'aient pas tous leurs coefficients nuls, c’est une preuve que l’on a négligé de s'assurer que chaque fonction F n'est

pas une puissance exacte, et qu'il est possible de réduire le nombre des éléments V.

Comme exemple d’une telle réduction, considérons l'équation du troisième degré æ°+pxz—+q—0, et l'expression algébrique d'une racine +, donnée par la formule de Cardan

22 q VIE) p LUS VTo Et a EME MOINE

elle est fournie par la chaine d'équations :

2 3 nn (2)

{ Nr 65. + V;, 7 Ü Vi = + Va, Li — Vi + Vi.

En substituant x, dans le premier membre de l’équation, on a ai) Hp HV) + = —q+iViV + Vi Vi + pi HpNi+q—=0; les coefficients de V?, V;, el le terme indépendant ne sont pas identiquement nuls; ceci nous prouve que les fonctions V ne sont pas réduites au nombre minimum, et que V, fait partie du domaine (V,, Va, D, q); on obtiendra son expression, d’après la démonstra-

VOGT. — RÉS. ALG. 8

tion du théorème fondamental, en cherchant le plus grand commun diviseur des polynomes

SVIVa + (3V5 + p)Vi + pV,