ICE LH V

et l’'égalant à zéro, ou en remarquant que (3V;V, +p)(V, + V;) doit être nul; on trouve ainsi VV; = — L, ce qui donne ) ) -£ “ — À v: ñ Lot)

nous avons fait disparaitre successivement les irrationnelles du dénominateur, comme nous l'avons indiqué précédemment ($ 66); il résulte de là que la chaine d'équations se réduit à

ANR NES PTS m=(s)+(s)

69. Lorsque les éléments V sont réduits au nombre minimum, on a forcément, dans l'identité (9), H, = H = ::: = H, 1 = 0; supposons que, dans l'expression de x,, on attribue à V, chacune des pi valeurs dont cette quantité est susceptible, et qui sont

Nr oiV,, w?V;, ON) DATIV:,

où w, est une racine primitive de l'équation w/1—1 —0; on obtiendra des expressions "%;, 2, .…., x,, telles que

(40) Vy1 =— Go EE OV; ue Gaw?iV? cie e(X — 0, 1, For Pi > 1) et en les substituant dans /(x), on aura fGx44) = Ho + HiwiVi + HBowffVe + + = 0;

car Ho, H,,.. sont nuls, par suite les p, quantités 1, 22, …., æ,, sont

ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES RÉSOLUBLES 115

racines de l'équation proposée. Ainsi dans l'exemple de l'équation du troisième degré dont nous venons de parler, V, étant le dernier élément de la chaîne, les quantités

ON

sont, avec x,, des racines de l'équation.

70. Nous verrons que les racines ainsi formées sont distinctes, mais nous pouvons, sans le supposer, démontrer une propriété fondamentale des irrationnelles V,, V;, .…., V..

Les équations (10) donnent, en multipliant æ,,1 par w,* et faisant la somme des produits,

DANONE (11) Ve se Zur Ty ; DA par suite l'irrationnelle V, est une fonction linéaire des racines de l'équation f(x) —0, les coefficients dépendant des racines p,“ de l'unité; si les valeurs æ, x, ..., æ,, fournies par les équations (10) ne sont pas toutes distinctes, on a par exemple Sorlrs is = mA +ow +...) + ao ft +owt+...) +.

Soient Zi, &r, .…, æ, les n racines de l'équation donnée, qui sont toutes distinctes d’après l'hypothèse; effectuons dans la somme précédente toutes les substitutions relatives à ces n racines, et lui donnant des valeurs algébriquement différentes ; toute fonction symétrique de ces valeurs est symétrique par rapport à æ, %2, ...,Æn; elle peut encore contenir la racine de l'unité w, ; dans ce cas, si l’on remplace w, par w?, w?, …, w,/t et si l'on forme le produit des résultats, on aura une fonction symétrique s'exprimant rationnellement au moyen des coefficients de f(x), c'est-à-dire au moyen des éléments R’, R’, .… du domaine primitif de rationalité.

En particulier, formons le produit des expressions obtenues en

1} Pi VAS LE Zur hrx +:

Pi

les substitutions précédentes par rapport aux racines x, et, s'il est nécessaire, multiplions ce produit par ceux que l’on obtient en remplaçant w, par les autres racines de l'unité ; nous obtenons un polynome e(y) à coefficients rationnels par rapport à R', R’, ..….. En l’égalant à zéro, on à une équation analogue à f(x) = 0, et l'on peut supposer que ses racines sont distinctes, car sinon on lui appliquerait la méthode de calcul des racines égales qui ne change pas la nature des coefficients; si nous admettons que eo(y) —0 soit l'équation ainsi obtenue, sans racines égales, elle a en particulier pour racine la quantité

effectuant dans

1 sh" yi= pi Boy | NI SNS Ne 0)

elle est, comme on sait, de la forme Ua Lo + LV: + L, V2? +... + LV

où L, est égal à l'unité. En répétant sur y, le raisonnement que nous avons fait sur x, les valeurs

(12) Yes = Lo+ Lim Ve Lui Vi EL, 0.201 pour" Æ£ —10, 1, 2/%902="1 ou lu est une racine nv deMtuniLe, sont toutes des racines de ce(y) = 0; d’après la manière dont nous avons obtenu celte dernière équation, ce sont donc des fonctions des racines x analogues à 7y,, et s'en déduisant par certaines

substilutions effectuées sur æ, æ:, ..., æ,. Si nous opérons comme nous l'avons fait pour V,, nous avons

Ne DOUTER T P2 de sorte que V, est une fonction entière des racines de f(x) = 0, avec des coeflicients dépendant des racines de l'unité ew, et w.

En répétant sur les racines y le même raisonnement, on formera une nouvelle équation d{z) — 0 dont les coefficients font partie du domaine primitif et dont les racines sont fonctions entières de Lis La, ns Et l’On exprimera V; au moyen de ces racines, et ainsi de suite, d'où le théorème suivant :

THÉORÈME. — Si une équation résoluble f(x) — 0 dont les coeffi-