OT RER

109. Nous avons supposé jusqu'à présent qu’on adjoint au domaine de rationalité une racine d'une équation résolvante, c'est-àdire une fonction des racines %, 2, ..., *, de l'équation donnée. Nous allons considérer le cas où l’on effectue l’adjonction d’une OH SPUNPReQUALIONRO RAR RE PE OMirréducthible dans le domaine de rationalité primitif, on peut toujours, comme nous l'avons vu, ramener à ce cas celui où l’on adjoindrait plusieurs racines analogues.

Formons l'équation résolvante de Galois (7) = 0 dont le premier membre est irréductible et a un degré égal à l’ordre r du groupe G de l'équation donnée f(x) = 0, et adjoignons R, au domaine ; si W, se décompose en un produit de plusieurs facteurs, et si W.(z) est celui qui renferme z—4%,, le groupe se réduit aux substitutions déterminées par ce facteur, constituant un sousgroupe G du premier.

On peut opérer une réduction identique du groupe G par l’adjonction d’une racine d’une équation résolvante particulière ; prenons en effet une fonction oi(%1, %+, ..., æ,) desracinesde f(x) = 0 appartenant au groupe Gi, et ses valeurs 1, &, ..., 0, pour les substitutions de G; ce sont les racines d’une équation irréductible

à coefficients rationnels dans le domaine primitif ; l’adjonction de la racine +, de cette équation produit sur le groupe G le même effet que celle de R:.

Nous pouvons aller plus loin et montrer que l’adjonction des différentes racines de vw(R, R', R', ...) — 0, que nous désignerons

par R;,R,...,R,, peut être remplacée par celle des racines de Dir) 10,

Remarquons d'abord que +, est une fonction appartenant au groupe G{ de l'équation et par suite est rationnellement exprimable au moyen de R;; soit par exemple eo — OR;) sa valeur; l’équation

L0(2) — q1][0(z) — #2]... [0() — 9] = 0 a avec o(R) — 0 la racine commune R,, par suite elle est satisfaite pour les autres racines R:,...,R,, et chacune des expressions Ü(R;) est égale à l’une des quantités +. On conclut de là que le polynome (2) = [3 —0(R)1{e — 0(R:)]. [x — O(R.)],

qui s’annule pour certaines des valeurs w,, &, ...,e, et pour aucune autre, est une puissance exacte de (z), et que l’on a par exemple F(z) = (z};, dès lors : des valeurs O(R;) sont égales à M1, pd autres à o, elc.

Cela posé, admettons que l'on ait 0(R,) = +,, et désignons par G et G les groupes auxquels se réduit celui de l'équation lorsqu'on adjoint respectivement R, et v,; d'après ce que nous avons vu au $39, R, et R, produisent des décompositions analogues de l’équation résolvante VWifz) — 0 et les groupes G, et G, ont le même ordre ; il en est de même de G’ et de G! ; comme e, est rationnellement exprimable après adjonction de R,, le groupe G; contient toutes les substitutions de G°, et ces deux groupes sont identiques.

Il est donc indifférent d’adjoindre les racines de e(R) = 0 ou celles de l'équation résolvante (z) — 0; nous nous placerons désormais dans le cas où les quantités introduites dans le domaine de rationalité sont des fonctions des racines de l'équation.

110. Considérons en particulier le cas où le degré n de l'équation donnée f(x) = 0: est un nombre premier, si le groupe. G& se réduit, après l’adjonction de la fonction #,, à un groupe G non transitif, l'équation ne reste pas irréductible ; désignons par fix, un des facteurs irréductibles de f(x) dans le nouveau domaine, et par » le degré de ce facteur.

Le produit

Fax) = f(x, o1)fi(x, 2)... fi(e, @),

étendu à toutes les racines de l'équation ®(z) — 0, s’annule pour

une au moins des racines de f(x) = 0; par suite il est divisible par le premier membre de l'équation donnée, et se décompose généralement, dans le domaine primitif, en plusieurs facteurs irréductibles dont l’un est égal à f(x). Par un raisonnement analogue à celui que nous avons fait au $ 98, nous voyons que ces facteurs se transforment les uns dans les autres par les substitutions du eroupe G, et sont identiques; nous en concluons que l’on a par CSN Er 70.

De là résulte que le degré n'o de F(æx) est égal à Àn; comme n est un nombre premier supérieur à n', o doit être égal à n ou à un de ses multiples. Nous avons vu d'autre part que le degré v d’une équation irréductible telle que e(R) — 0, dont la racine R, produit la même réduction du groupe G que w, est lui-même de la

forme po; il est donc aussi un multiple de n, et l’on peut énoncer ce résultat :

TaéorÈME VIL — Si une équation vrréductible de degré premier n devient réductible après adjonction au domaine de rationalité d’une racine d’une équation ®(R) = 0 irréductible dans ce domaine, le degré de cette dernière est égal à n ou à un de ses multiples.

Une conséquence importante de ce théorème peut être énoncée relativement à l'équation binome irréductible

EAU RO EN de degré premier ; elle reste irréductible par l’adjonction au domaine de rationalité d'une racine d’une équation quelconque de degré inférieur à n, en particulier par l’adjonction d’une racine n° de l'unité w,, car cette dernière satisfait à une équation de degré

n—1. Cette remarque peut être appliquée aux équations binomes de la chaîne dont il est question au $ 64.

114. Le cas le plus important est celui où l’on adjoint à la fois. toutes les racines d’une équation résolvante irréductible dans le domaine de rationalité primitif ; soit une fonction du groupe G de NEQUAUOD DR 0 A dontles racines SOIT Te is,

P(z) = (E—a)z — 0%)... — on) = 0 une équation ayant pour racines les valeurs distinctes d’une fonc-

tion &1(21, Xe, -.., En) pour les substitutions de, G, et soient Gi, G2, ..., GA les groupes de ces fonctions ; nous avons vu que

l'adjonction simultanée de 1, , . ., w, réduit le groupe au sous- SLOUDe HÉCOMMUM AIG AC De RC

C'est un sous-groupe invariant de G, car si l’on effectue sur les valeurs 1, %, ..., nm les substitutions du groupe de l'équation, elles se reproduisent à l’ordre près, et les groupes Gi, G, ..., Gun sont des transformés de l’un d’entre eux par G; dès lors le groupe H qui leur est commun est permutable à toute substitution de celui de l'équation et en est un sous-groupe invariant.

Considérons par exemple l'équation générale du quatrième degré, et l'équation résolvante dont les racines, deux à deux égales et de signes contraires, sont les six valeurs de

A1 = Li + La — 3 — XL,

elles appartiennent aux groupes 41, 4», ga n'ayant d'autre substitution commune que l’unité, et leur adjonction simultanée réduit le groupe de l'équation à la substitution identique, de sorte que l’équation se trouve résolue ; c'est ce que nous avons constaté au K 56.

De la même manière, l’adjonction simultanée des trois racines %1, %, © de l'équation résolvante de Lagrange, appartenant respectivement aux groupes Gi, G, G:, réduit le groupe de l'équation au groupe H qui leur est commun, et permet de calculer la fonction zx, appartenant à ce groupe, ainsi que nous l’avons expliqué au K 58.

Supposons que le groupe G d’une équation soit simple ; le seul sous-groupe invariant qu il possède est constitué par la substitution unité, et il se réduit à cette seule substitution par l’adjonction de toutes les racines d'une équation résolvante telle que (2) = 0; l'équation se trouve ainsi résolue. Au contraire, si le groupe G est composé et possède un sous-groupe invariant H, on peut former une fonction des racines le réduisant précisément à ce groupe H; il suffit en effet de prendre une fonction appartenant à ce dernier groupe ; ses valeurs conjuguées pour les substitutions de G appartiennent au même groupe qui n’est autre que H lui-même ($S 22), de sorte qu'elles sont rationnellement exprimables au moyen de l’une d'elles; l’adjonction d’une seule racine de l'équation résolvante dont dépendent ces valeurs conjuguées équivaut à celle de toutes les racines, et réduit le groupe de l'équation précisément au sousgroupe invariant H considéré. On peut ajouter que le degré de

l'équation résolvante est égal au quotient des ordres de G et de H.

En prenant pour H le sous-groupe invariant maximum de G, puis opérant sur ce nouveau groupe comme nous venons de l’indiquer, et ainsi de suite, on arrive au théorème suivant :

Tuéorème VIIL. — Si une équation a un groupe G composé, si G Gi, .. (be (| est une suite de composition de ce groupe, e&, 63, ...,e,, e,11 les fac-

leurs de composition correspondants, on peut la résoudre au moyen d'équations successives de degrés e, 6, ...,e,, e,,1 jouissant de la propriété d'être chacune irréductible dans le domaine auquel on adjoint les racines des équations précédentes, et d’avoir ses racines exprimées ralionnellement, dans ce nouveau domaine, au moyen de lune delles. Le groupe de l’équation se réduit, après adjonction successive d’une racine de chacune de ces équations, aux groupes

Cu, Go, .. il,

112. Nous allons appliquer ce théorème à l’étude des équations résolubles algébriquement. Si une équation donnée jouit de cette propriété, il existe, comme nous l'avons vu au chapitre IX, une chaine d'équations binomes dont chacune est de degré premier et dont les racines sont des fonctions rationnelles des racines de l'équation proposée. Chacune d'elles est irréductible dans le domaine auquel on adjoint les irrationnelles déterminées précédemment et ses racines sont, dans ce nouveau domaine, exprimables rationnellement au moyen de l’une d’entre elles. On voit que l’adjonction des irrationnelles successives réduit progressivement le groupe G de l'équation à une série de groupes

CRC Cd

constituant une suite de composition de G, les facteurs de composition étant précisément les degrés p,, py1, ..., p1 des équations binomes. Le groupe G doit donc être un groupe composé, les facteurs de composition étant premiers.

Cette condition, qui est nécessaire, est aussi suffisante ; supposons en effet qu'elle soit remplie, c'est-à-dire que les facteurs de composition du groupe de l'équation soient des nombres premiers ; supposons de plus que l’on soit déjà parvenu à réduire ce groupe

à un sous-groupe G, de la suite de composition par l'adjonction d'une fonction rationnelle des racines déterminée au moyen d'une ou de plusieurs équations résolvantes. Si G,1 est le groupe suivant, et si p; est le nombre premier égal au rapport des ordres de Gy et Gy11, il est possible, d’après le théorème du $ 23, de former une fonction des racines appartenant au dernier de ces deux groupes, et ayant pour celles du premier p; valeurs conjuguées racines d’une équation binome dont les coefficients font partie du groupe G; l’adjonction d’une de ces valeurs, c’est-à-dire d’un radical d’indice Pr, réduira le groupe à G,,1. En opérant de celte manière à partir de G;, il sera possible de former une chaine d'équations binomes successives conduisant à la résolution algébrique de l’équation. On peut par suite énoncer le théorème suivant :

THÉORÈME IX. — La condition nécessaire et suffisante pour qu'une équation soit résoluble algébriquement est que les facteurs de composilion de son groupe soient des nombres premiers.

Les équations générales du troisième et du quatrième degré satisfont à la condition précédente. Le groupe de la première a pour facteurs de composition les nombres premiers 2 et 3, et nous avons constaté que sa résolution dépend de celle de deux équations binomes dont les degrés sont les nombres précédents. L'équation du quatrième degré a un groupe composé dont les facteurs de composition sont 2, 3, 2 et 2, et l’on a précisément, pour déterminer les racines de cette équation, à former des radicaux successifs dont ces nombres sont les indices.

Le groupe symétrique de n éléments, dans le cas où n est supé-

rieur à 4,a pour facteurs de composition les deux nombres 2 et

n | , , : a ” ——; comme le dernier n'est pas un nombre premier, l'équation

générale de degré n n'est pas résoluble. Nous retrouvons ainsi le théorème d’Abel :

THÉORÈME X. — L’équalion générale de degré supérieur à quatre n’est pas résoluble alqébriquement.