CHAPITRE I

DES GROUPES DE SUBSTITUTIONS

4. Une substitution est l'opération qui consiste à remplacer un ou plusieurs éléments par un même nombre d’autres qui leur correspondent respectivement d'après une loi déterminée. Lorsqu'on remplace par exemple une variable + par

ax + b x Ed où a, b, c, d sont des constantes, on dit que l’on effectue sur cette variable une substitution linéaire ; de même, lorsqu'on remplace deux variables x et y respectivement par ax + by, cx+ dy, on effectue sur ces variables une substitution linéaire homogène ; a, b, c, d sont appelés les coefficients de la substitution. Nous nous occuperons spécialement des substitutions suivantes : Considérons n éléments représentés par les lettres æ,2%:,..., %n et leurs permutations linéaires, en nombre n!; les substitutions que nous étudions sont celles qui remplacent chaque élément d’une permutation par l'élément de même rang d’une deuxième permutation, distincte ou non de la première. Comme l’ordre des éléments qui se correspondent n'intervient pas dans le résultat, on peut supposer que chaque substitution remplace les éléments

VOGT. — RÉS. ALG. sl

d'une permutation fixe, par exemple "1,2; Mpariceux dé même rang de chacune des 7! permutations ; il y a donc n! substitutions distinctes.

En particulier, celle qui fait correspondre une permutation à ellemême n'’altère aucun élément; on l’appelle substitution identique ou unité, ce que l’on indique par la notation S = 1.

Les substitutions les plus simples non identiques sont celles qui remplacent, dans une permutation, chaque élément par celui qui le suit et le dernier par le premier ; une telle substitution est appelée circulaire, et les éléments forment un cycle.

Toute substitution de x éléments est circulaire ou se décompose en substitutions circulaires. Soit en effet x, un élément quelconque, +, Celui par lequel il est remplacé par la substitution donnée, x; celui qui remplace x,, 2, celui qui remplace x,, etc.; on arrive ainsi à un élément x, que la substitution remplace par x,. Les éléments Las Las Les Crete ad SON PP TMUIÉSICIrCnlaiIrTementEe PE OmMEn tEUNn cycle; dans le cas particulier où x, reste inaltéré par la substitution, on peut dire que cet élément forme à lui seul un cycle.

S1 le premier cycle ainsi obtenu renferme les n éléments, la substitution donnée est circulaire ; dans le cas contraire, un élément +, n'entrant pas dans ce premier cycle donne naissance à un deuxième de la même manière, et ainsi de suite. De cette façon les n éléments sont partagés en cycles distincts n'ayant aucun élément commun, et la substitution donnée est décomposée en autant de substitutions circulaires qu'il y a de cycles ; l’ordre dans lequel sont effectuées ces substitutions partielles est indifférent.

Les substitutions circulaires dont les cycles renferment deux éléments seulement s'appellent transpositions; une substitution circulaire quelconque se ramène à une suite de transpositions ; par exemple celle dont le cycle est ax.x...æ, se ramène à la suite des transpositions de cycles respectifs mir, 41%,:,..., x, effectuées dans cet ordre. Il résulte de ce qui précède que toute substitution peut être décomposée en transpositions successives.