On indique une substitution de différentes manières
1° On écrit l’une au-dessous de l’autre, dans une même parenthèse, la permutation primitive et celle qui lui correspond; exemple :
DES GROUPES DE SUBSTITUTIONS
Da RDS N Lo dite le est la substitution qui remplace x, par æ:, 22 par 6, etc.;
20 On indique une substitution circulaire de plusieurs éléments par la suite de ces éléments placés dans une parenthèse ; pour une substitution quelconque, on décompose la totalité des éléments en cycles distincts ne renfermant aucun élément commun, et l’on écrit les substitutions circulaires relatives à ces cycles à la suite l’une de l’autre, dans un ordre quelconque ; il est inutile d'écrire les éléments non altérés ; la substitution précédente s’écrira de cette façon :
S = (mdsts) (tite) = (tot Maitsts) ;
3° Dans certains cas, on indique la loi qui détermine l'indice d’un élément de la nouvelle permutation en fonction de celui de l’élément correspondant de la permutation primitive ; par exemple la substitution circulaire
sera indiquée par V—=i+!i (mod. 4), i et +’ étant les indices de deux éléments correspondants.
3. Si l'on effectue sur un ensemble d'éléments E une substitution S le remplaçant par l’ensemble E’, puis sur E’ une substitution S’ le remplaçant par E”, la substitution S” qui remplace E par E" est appelée le produit de S par $’, ce que l’on indique par la notation S'— S.S'; de même si l’on effectue successivement les substitutions Si, S,..., S,, le résultat peut être obtenu par une substitu- Hhon S qui est appelée le produit des précédentes, celque l'on indique par S = S;,S:...S,, en plaçant les facteurs dans l’ordre successif des substitutions, de gauche à droite ; le produit dépend de l’ordre des facteurs ; par exemple pour trois éléments x:, 22, #3,
les substitutions DA Te) Di dr ont pour produits
SS! — (Li1L3Ta), SOS (1%).
On appelle substitution inverse d'une substitution $', ce que l’on indique par la notation St, celle qui est définie par l’une ou l’autre des égalités suivantes, qui sont équivalentes :
