TÉTRAÈDRE

poténuse commune la diagonale OCy, et pour côlés (fl, a yâ, a ^3). On se figure assez nettement ce genre de tétraèdre, par le procédé suivant.: Sur un même plan, aux deux extrémités d'une droite LL' égale à a, on élève, en sens opposés, des perpendiculaires, LO, L'C, égales aussi à a-, puis, autour de LL' comme charnière, on fait tourner le plan d'un des triangles rectangles OLL', CL'L, jusqu'à ce qu'il fasse, avec celui de Tautre triangle resté fixe, un angle dièdre droit 5 la pyramide OLL'O' sera le tétraèdre dont il s'agit; et, eu changeant le sens de la rotation, on aura son symétrique.

§ LXXIX

TÉTRAÈDRE i; SON REFROIDISSEMENT.

La série (19) n'exprimera particulièrement la loi du refroidissement du cube, que si la symétrie calorifique inverse existe par rapport à chacun des trois plans diagonaux (i3); les températures primitives, d'ailleurs quelconques, d'un seul des six tétraèdres que découpent ces plans, assigneront donc celles des cinq autres. De là résulte que la même série exprimera généralement, ou pour tout état initial, le refroidissement du premier tétraèdre (OACC), lorsque ses quatre faces

(20) z=o, z=zjr, y=-x^ xzna^

M)nt entretenues à la température zéro.

Ce troisième polyèdre, que nous appellerons le tétraèdre^?

peut-être traité direrlement, en appliquant la solution générale du§LVIL La série (19), dans laquelle, le fadeur

l4o HUITIÈME LEÇON.

U (i8) est composé avec les fonctions (7), et 0* a la valeur (6), vérifie l'équation générale (i),§LVII; tous ses termes vérifiant*séparéœent la même équation. Chaque facteur U satisfait aux conditions de la surface, puisqu'il est nul sur les quatre faces (20). Le coefficient M a la valeur générale

(ai) M = --;:; 5

OÙ le signe symbolique des intégrations est maintenant

(22) j du...=: l dx j rfx j iiz....

Toutefois, le dénominateur de M (21) peut être obtenu en étendant l'intégration au volume entier du cube, et divisant le résultat par 6 : car, le carré U* retrouve la même valeur positive dans les cinq autres tétraèdres. Or, en formant le carré de U (18 ), le second membre contiendra six carrés (UJ,U',%...), et des doubles produits (2U1U,, — aU^U ,...)5 multipliant par dxs^ et intégrant dans le volume du cube,

chacun des six carrés donnera -3-9 et les doubles produits

donneront zéro, §LXI-, donc le dénominateur de M (21) sera encore ( - 1 *, d ou

(23) M= [-V r dx f df f dzAV.

Lorsque la connaissance de l'état initial f, permettra d'effectuer les intégrations indiquées, la formule (23) donnera les valeurs numériques de tous les coefBcients de la

TÉTRAÈDRE ^. l4l

série (19)* Et l'on connaîtra les températures de tous les points du tétraèdre proposé, pendant toute la durée de son refroidissement.