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CAS DE L'ÉTAT INITIAL œNSTANT.

Particulièrement, si f est constant, et pris égal à Tiinité, il faut évaluer l'intégrale définie triple

I dx \ dy [ ^2s.U, o Jo Jo

où Uest le polynôme (18) composé avec les fonctions (7). En suivant une marche analogue à celle du§LXXII, on évalut trois intégrales partielles, dont la somme donne pour (24) la valeur

prf7r,(i~7)('--7V)

où (7, y', y") représentent respectivement

(cos/tt, cosi'w, COSj"7r).

Or, cette valeur (25) sera nulle, si les entiers (/, 1', i'^), lesquels sont essentiellement différents (§ LXXVIQ), ont tous même parité, par y' y" = y" y = yy'= i; elle sera encore nulle, si deux de ces nombres sont pairs et un seul impair, par y' :=.y" = y'y" =zi^ ou par y"=y = y"y=i, ou par y =zy^=yy^=i. Elle ne subsistera que si un seul des trois entiers est pair, les deux autres étant impairs.

l4^ HUITIEME LEÇON.

D'après le § LXXVII , on peut adopter exclusivement le groupe (i pair = 27, i' et i" impairs) 5 et la valeur de M (a3) sera

^'^^ '^'-UJ.-,-'(.--4/)(i"-4/)'

ce qui donnera définitivement

pour exprimer la loi du refroidissement du tétraèdre ^»

totalement immergé dans un bain entretenu à zéro, lorsque sa température primitive est constante et prise pour unité. Cet état initial devant être reproduit, quand on annule f , V (27) doit se réduire à l'unité. De là résulte ce théorème d'analyse, que la triple série trigonométrique

(U étant le polynôme (18) composé avec les fonctions (7), où les entiers /', /'', sont impairs, et 1 pair égal à 27), est invariablement ( 7 ) » dans l'intérieur du tétraèdre limité par

les faces (20), tandis qu'elle est essentiellement zéro sur ces faces mêmes.

§ LXXXI