LOI GÉNÉRALE LORS D'UN PLAN A ZÉRO

Les séries qai donnent la loi iutégrale du refroidissement par communication, des divers polyèdres que nous avons traités jusqu'ici, sont trigonométriques et périodiques. Considérées analytiquement comme s' appliquant à Tespace.indéfini dans tous les sens, elles expriment que la température est zéro, quel que soit le temps, sur plusieurs suites de plans, parallèles et équidistants, décomposant 1 espace en polyèdres équivalents et symétriquement placés. Cette décomposition a une telle analogie avec la constitution des milieux cristallisés, qu'il importe de chercher si elle ne s'étend pas à d'autres polyèdres que ceux qui dérivent du prisme rectangle, ou de ses variétés.

Dans les solutions trouvées, chaque plan a zéro, partage l'espace en deux parties, où les températures sont symétriquement égales et de signes contraires par rapport a ce plan -, symétrie calorifique inverse qui a lieu à toute époque, et conséquemment lors de l'état initial. Or, on peut démontrer que cette loi est reproduite, quand on exprime,

l5o NEUVIEME LEÇON.

à Taide d'une série trigonomé trique, que la température reste fixée à zéro sur un certain plan P, pendant toute la durée d'un refroidissement.

En effet, dans toute série, dite trigonométrique, et mise sous la forme

le facteur U est toujours réductible en une somme linéaire de sinus et de cosinus d'arcs polynômes

(2) (X:c-f.^^-|-vz-}-p)

différant par les signes, et même les grandeurs, des coefficients (X, fi^ v), mais de telle sorte que la somme

(3) e2 = v-^pi»H-v?

de leurs carrés reste la même, afin que Téquation //v ^'U d'V d'V ^,,,

soit vérifiée. La série (i) devant exprimer que la température eat zéro, quel que soit t, sur le plan P, il faut que tout facteur U s'évanouisse lorsqu'on établira, entre les coordonnées, la relation qui constitue l'équation de ce plan. Si Ton passe du système des axes (a:, j, z) k un autre (a/, y', z'), orthogonal comme le premier, et dans lequel le plan P soit pris pour celui des j'z', d'après les propriétés connues des formules de cette transformation, on aura généralement

— — —--— — tl ' ' dF' "^ dy'^ "*■ dz'' "" €lx^ "^ dy^ "*" ;^'

et les arcs (2) prendront une nouvelle forme

PRISME TRIANGULAIRE RÉGULIER. 1 S I

telle que (i"H- fjt'*-|- v'*) sera encore égal au même 0*. Ainsi, la série (i) exprimera le même refroidissement, à l'aide des nouveaux axes, si l'on y transforme le seul facteur U, lequel devra s'évanouir j>our j:/ = o, équation actuelle du plan P.

Or, toute somme linéaire (la plus générale) des sinus et cosinus des arcs polynômes (6) peut se développer ainsi :

(7) Q W'sinVa:' -h C W'cosVa:';

les (W, W") ne contenant que (j\ z'). Chacune des deux sommes partielles (7), vérifiant séparément l'équation (4) transformée par (5), peut être prise exclusivement pour le facteur U, et dans le cas actuel, où U doit s'évanouir pour x'=o, c'est la première qu'il faut adopter. Donc U sera une somme linéaire de termes de la forme Wsini'j:/ et changera de signe avec a/, en conservant la même valeur absolue. Cette propriété, commune à tous les termes de la série transformée, s'étend à cette série elle-même. Donc la symétrie inverse existera à toute époque de part et d'autre du plan P.

[Citons ici, comme un simple corollaire, une seconde loi. Si la série irigonométrique (1), au lieu d'indiquer que le plan P conserve la température zéro, doit exprimer que ce plan n'est traversé par aucun flux ou reste imperméable,