LXXXIII

CAS DE L'ÉTAT INITIAL œNSTANT.

Cesi ce qui arrive particulièrement quand f est constant et pris pour unité. Il suffit alors d'évaluer Tintégrale

Jr-à na-x /»x

} dr j dr i //z.U,

o Jx Jo

quand les (/, i'^i^') sont tous impairs; on y parvient en la décomposant en trois intégrales partielles, et Ton trouve sans difficulté, pour la valeur totale,

^ *^ ii'i"ic' \fj' i' -J^ tj" i" "^ (t''/''h- d/ "*" Gi -f- tj'i'j'

dans laquelle ((T, (t', a") représentent

[ . iiz . i^Tt . i"T:\ sin — 9 sin — , sin — ^

ou bien

ii'i"^^ (^/ + a'i') (^i 4. ^'//" ) (e,'/' + a'^i'^y

en se fondant sur ce théorème d'algèbre, facile à vérifier, que (A, B, C) étant quelconques, on a identiquement

B—C C-~A A-B (B-C)(C — A)(A~B) B-hC"^C-^A"^ A4-B"*" (B-f-C)(CH-Aj(A-+-B) ■^^-

TÉTIAÈDRE 77. l^y

Substituapl la valeur (35) de riiitégrale (33) dans M (3^), et IVI dans \ (19), on a

(36) v^(4yw (<^^-^^0(<^^-^^'")(<^^'~<^^^0 u r''j

pour exprimer la loi du refroidissement du tétraèdre -7 «

primitivement à la température i, et totalement immergé dans un bain entretenu à la température zéro.

L'état initial f = 1 devant être reproduit, quand on annule r, V (36) doit se réduire à Tunité. De là résulte ce nouveau théorème d'analyse, que la triple série trigonométrique

a pour valeur invariable | ^ | à l'intérieur du tétraèdre

aux faces (3o), tandis qu'elle est essentiellement zéro sur

ces faces mêmes U étant le polynôme (18), composé avec

des fonctions (7), où les entiers (i, i'', i'') sont tous trois impairs^ ((T, t/, ^') représentant, pour simplifier, les

sm — > sin — » sm — | •

Dans la série (36), les termes où deux .d^s entiers impairs (2, i\ i'') seraient égaux disparaîtront toujours, par l'annulation du facteur U, car le coefficient général ne peut pas être infini. En effet, tous les entiers impairs étant de deux espèces, ou des deux formes linéaires différentes 47-I-1, 47-f"35 si les entiers (/, i', i") sont de la même espèce, les (a, t/, a") seront tous égaux ou à -i-i, ou à — i,

l48 HUITIÈME LEÇON. TÉTRAÈDRE j^.

et le coefficient devenant

pourra être nul, mais jamais infini; et si les impairs (/, i\ i") sont d'espèces différentes, c'est que Tim d'eux, i" par exemple, sera seul de l'une d'elles ; on aura donc (a== (/ = — (t"), et le coefficient, dfevenant

/4V (i.-i-)(i-4-i")(|-- + J \„) ' (/ 4- ,") (,• /'') (/' r) • ii'i^^'

pourra être nul pari = i', mais ne pourra jamais être infini, puisque ni i, ni i' ne peut devenir égal à i^\ qui est d'une autre espèce.

PRISME TRIANGULAIRE RÉGULIER. 1 4

PRISME TRIANGULAIRE RÉGULIER

Symétrie calorifique inverse introduite par tout plan à zéro. — Série pour le refroidissement par communication du prisme triangulaire régulier. — Nouveau genre de coordonnées. — Détermination des coefficients et de leur dénominateur.

§ LXXXIV