CONSÉQUENCES DE CETTE LOI

La loi générale, qui vient d^ètre établie, indiquait, trèssimplement^ la possibilité de traiter les polyèdres définis dans les leçons précédentes. La série qui donne la loi du refroidissement du prisme rectangle, dont les trois côtés sont inégaux, quand ses faces sont entretenues a la température zéro, peut exprimer que la température reste aussi à zéro, sur d'autres plans, pourvu qu'ils soient parallèles à deux faces, et qu'ils partagent le côté perpendiculaire (a, ou è, ou c) en un nombre entier n de parties égales ; il suffit de ne prendre pour l'entier (/, ou i'^ ou i") que des multiples de n. Mais la même série ne peut exprimer qu'un plan diagonal, tel qu« ^ = -> reste à zéro 5 car la symétrie calorifique inverse ne saurait exister de part et d'autre de cç plan, puisque les faces (j: = o, j = o) ou [x = «, y = i), qui ont la température zéro, ne sont pas symétriquement placées par rapport à ce plan diagonal. Cela n'est possible que si £ = a, ou si le prisme est à base carrée \ alors, les deux plans diagonaux perpendiculaires à cette base, peuvent conserver, séparément ou à la fois, la température zéro; mais

pas les autres, tel que - = -j ou - = -9 à moins que c ne

soit aussi égal à* a, ou que le polyèdre primitif ne soit un cube.

La même loi générale établit, clairement, qu'il ne sera possible d'exprimer la loi du refroidissement par communication d'un nouveau polyèdre, à l'aide d'une série trigonomélrique et périodique, que si ce polyèdre est tel, que Ton puisse paver tout l'espace avec des polyèdres de même forme,

PRISME TRIANGULAIRE RÉGULIER. l53

symétriquement placés, et de telle sorte que, les plans de leurs faces ayant la température zéro dans toute leur étendue, la symétrie calorifique inverse puisse exister par rapport à chacun de ces plans. Or il existe deux prismes triangulaires droits, autres que celui de M. Ostrogradski, qui satisfont complètement à toutes ces conditions. La base de Fun d'eux est le triangle équilatéral; celle de l'autre est la moitié du même triangle, ou bien le triangle rectangle dont l'hypoténuse est double d'un des côtés. On peut donc chercher l'expression du refroidissement par communication de ces deux prismes, par des séries tri gonomé triques et périodiques. Il suffira, d'ailleurs, d'obtenir la série du premier corps, car elle doit comprendre celle du second, comme la série du prisme à base carrée comprend celle du prisme

triangulaire —

§ L^XXVT.

PRISME TRIANGULAIRE RÉGULIER

11 s'agit d'appliquer la solution générale du § LVII, au refroidissement par communication du prisme triangulaire de hauteur A, régulier ou dont la base est un triangle équilatéral. Prenant l'axe du prisme pour celui des -2, et le centre O de la base pour origine, la fonction V peut se mettre sous la forme

MSID

Pour que chaque terme simple vérifie séparément l'équation générale (i), § LVII, il faut que le fadeur m, qui ne

l54 BiELVIÊlfE LEÇOV.

coiiûpot que (x, y), vérifie réc|uation particulière

^ ^ d.T* dy^

De plus, le terme simple s'ëvanouissant déjà sur les deux bases (^ = 0, z = /i), par le facteur en z, où 1 est un nombre entier, pour qu*il s'évanouisse pareillement sur les faces latérales, il faut que le facteur u s'annule sur les côtés de la base.

Telles sont toutes les conditions imposées à la fonction u. Afin de les traduire analytiquement : soient, respectivement, (a, a', oi"^ les angles que font, avec Taxe des x, les

perpendiculaires indéfinies, OP, OP', OP", abaissées du centre du triangle équilaléral sur ses côtés \ on aura

(10) a' = a-t-— 5 a"=::aH--~,

et si, par un même point du plan de la base, on mène trois droites respectivement parallèles aux côtés, leurs équations seront

. orcosa -\- y sina = P,

(11) J j:cosa'-H jsina'= P', ( .rcosa"-f-jsina"=P";

(P, P', P''j étant les distances, à l'origine, des points où

PRISME ïaiANGULAIRE RÉGULIER. l55

ces droites viennent rencontrer les perpendiculaires OP,

On peut regarder ces perpendiculaires comme étant les axes d'un système de trois coordonnées (P, P', P'^), appartenant à un même point du plan de la base, et vérifiant la relation

P sin(a' — a") -+- P'sin(a" — a) 4- P" sin (a — a') = o

que Ton obtient en éliminant [x^j) entre les équations (i i) et qui se réduit à

(12) P-|-P'-hP'' = o;

car, d'après les valeurs (10), les trois sinus facteurs sont

égaux entre eux, et à ( — — )• Sur les axes OPO^, qui sont

dirigés suivant les trois hauteurs ou les trois médianes du triangle équilatéral, les coordonnées P^-'^ sont positives vers les côtés, négatives vers les sommets.