I.XXXVIL FORMATION DU TERME SIMPLE

Maintenant, r étant la distance du centre aux côtés du triangle équilatéral, ou le tiers de sa hauteur, ou le rayon du cercle inscrit, l'équation à la surface est le groupe complet

(i3) V. = o, quand! '='''' '""^'

lP = r; P'=:r; V'=n

et, pour que la série (i) vérifie ce groupe, il faut que

(i4) u = o, quand ( P = r; P' =: / ; P" = r).

De plus, pour que celle série soit Irigonométriquc, la fonc-

l56 ^El)VlÈME LEÇON.

tion u doit être une somme linéaire de sinus ou cosinus d'arcs polynômes de la forme

(i5) :;/p-+-wP'-4-/jP" •

différant par les constantes (/, m, /?), mais de telle sorte, que Téquation (9) soit vérifiée avec la même 0' par tous les termes de cette somme.

Or l'arc (i5) devenant, à Taide des formules de transformation (11),

[(/ ces a -I- /w ces a' -f- /ï ces a" ) x' -t- ( / sin x -k- m sin a' + // sin a")^J,

son sinus ou son cosinus vérifiera réc|uatioii (9) si

2/w/icos(a' — a'^)-h 2/7/cos(a" — a)H- 2///2COs(a —a'), OU, puisque, d'après les équations (10), les cosinus facteurs

des trois derniers termes sont égaux entre eux, et à ( ) ,

si l'on a

(16) ô'=(/2-f-/?i'-|-/22)— (ntn-\-r^-+-lm)i

et, cette expression étant symétrique en (/, m, w), les sinus et cosinus des six arcs différents

i (/P4-/wP'-H/?P"), («P + /wP'-+-/P"),

(17) I (/?iP-}-/iP'-|-/P"), (wP-+-/P'-h«P''), ( («P-+-/P'-|-/wP"), (/P-|-/îP'-}-/wP"j,

vérifieront l'équation (9) avec ce même 0* (ï6).

La fonction u sera donc la somme de tous ces cosinus et sinus, multipliés par des coefficients indéterminés, et contiendra ainsi douze termes. Il restera à chercher quelles valeurs des constantes (/, m, n)^ quels rapports des douze coefficients, donnent à cette somme la propriété (14) de s'annuler sur le périmètre de la base. Recherche inévita-

PRISME TRIANGULAIRE RÉGULIER. iSj

bleiueiil longue et minutieuse, mais qui ne présente aucune difficulté particulière, et que nous supprimerons, en nous bornant a poser synthétiquement les résultats obtenus, et à constater qu'ils satisfont complètement aux conditions imposées.