ATT
et la valeur numérique complète du coeflGcîent N sera Dans^, (39) pour obtenir la double intégration sur i^,,
PRISME TRIANGULAIRE RÉGULIER. Mg
il faut leffectuer partiellement sur chacun des sinus (22), écrits avec les arcs (35), mais en observant que les entiers (A,, fxi, Vi), desquels aucun n'est nul, vérifiant actuellement la congruence multiple (48), on doit leur substituer trois multiples de 3, (3/|, 3in„ 3/i,). Cette substitution étant faite, avec le premier sinus (22) on aura successivement
en remplaçant, lors de la première int^ration définie, (/Il -h m, ) par ( — A) 5 et remarquant que la seconde intégration^ indéfinie, donne deux sinus qui s* évanouissent aux deux limites, undis qu'aucun des nombres (/|, mg, /i|) n'est zéro. Les cinq autres int^rales partielles seront pareillement nulles. On a donc définitivement (^^ = o.
La loi intégrale du refroidissement du prisme triangulaire régulier, primitivement à la température i, et totalement immergé dans un bain à zéro, sera donc donnée par la série double
ou par le produit des deux séries simples
desquelles la seconde doit se réduire a Tunité^ comme la
l8<) DIXIÈME LEÇON.
première, quand ^ = o, afin que l'état initial soit reproduit. D'où résulte ce ihéorènie d'analyse, que la série trigonomélrique simple
2X7r . 2W , . 2 ATT
sm
s,„;,4-sin— ;> +sin—p
est invariablement ( - j à T intérieur du triangle équilatéral,
tandis qu'elle est essentiellement zéro sur son périmètre.
Le cas actuel peut être aussi traité en partant de la série (25), plus simple en apparence que celle (54). Mais si les termes aux facteurs u^ disparaissent, dès l'abord, par leur coefficient Mi dont l'intégrale est alors évidemment nulle, on ne parvient à constater l'annulation du coefficient Ma, qu'à la suite de calculs beaucoup plus longs que les précédents. Les entiers (X, fz, n), dont la somme est toujours nulle, n'étant assujettis qu'à la condition d'être tous trois inégaux, leurs différences (^i, fJti, Vj), dont aucune n'est zéro, donnent toujours le même reste lors de la division par 3, et ce reste est, ou o, ou -h 1, ou + 2, sansdistinction préalable. Il faut calculer toutes les intégrales partielles correspondant aux sinus (22), lesquelles ne sont plus nécessairement nulles chacune séparément, et ce n'est qu'après avoir obtenu leur somme, qui est
ç)r^)/3(T n, H-pp, -f- vv,
que l'on reconnaît sa valeur zéro, par g = ô si les (X^. |ui,, Vj) sont divisibles par 3, et, dans tous les cas, par
(59 ) n, -f- ^p, H- vv, rr: o,
identité que l'on obtient en ajoutant les trois étjuations (27) respectivement multipliées par (X, u, v).
PUISME TIUAiNGlU.AiRE IIÉMIU^.G l LIER. l8l
MÊME CAS \H)m\ lhémihèc;umi:h.
Si la forme générale (54) conduit plus rapidement que la forme (aS) aux séries particulières (55) et (56), il n'en est plus ainsi quand il s'agit de parvenir à la série (4^) : car, lorsque Télal initial apporte une symétrie calorifique inverse par rapport à un seul des plans (45), il faut essentiellement mettre la fonction V (54) sous la forme (25) exprimée, soit en (//j, i/j), soit en (//',, m',), soit en (//,, i/^J, pour distinguer, avec certitude, les termes qui doivent disparaître, et ceux qui doivent rester. Mais cette série (4^), qui est la série générale pour le prisme hémi régulier, n'a pas acquis la propriété des calculs rapides.
Lors de l'état initial constant de ce dernier corps.^ le coef-
2 h ficient M, (42), avec f = i, et avec la valeur de
Tinlégrale défiàie en 2:, devienï
pour obtenir sa valeur numérique, il faut eflectuer séparément la double intégration en/?" et p'^ sur tous les cosinus (22) écrits avec les arcs (35); les six intégrales partielles obtenues, étant réunies, leur somme, simpliflée par diverses réductions, donne, pour l'intégrale totale, l'expression
/» ta /. 3 / — p' ^.2
il — ce
P cosXtt ^ I — cospiTr 1 — cosvrr^
l82 DIXIEME LEÇO»
La somiD<: des eniiers (/, p, v) devant èlre zéro, ces nombres sont, ou tous trois pairs, ou un seul pair et les deux autres impairs. L'expression précédente s^évanoait dans le premier cas, et ne subsiste que dans le second. Delà résulte que, lors de Tétat initial consUnt, la série (4o), déjà limitée aux valeurs impaires de Tentier i, se réduit en outre aux termes dans lesquels un seul des nombres (À, fx, v) est pair. On peut adopter (u, v) impairs, et X p«ir; la parenthèse de (60) est alors
d'après l'identité (Sp), et M, est définitivement
3 2 Va, I
ir» ptpi.w, 27-1-1
Ainsi, lors du refroidissement par communication du prisme triangulaire hémirégulier, primitivement à U température i , la fonction Y est la série triple
ou le produit de la série simple V, (Sy) par la série double
laquelle doit se réduire à l'unité, comme V,, lorsque t = o . D'où ce théorème d'analyse, que la série tri gonométrique
^^ fxp.vv,
est invariablement l^\ à rinlérieui du triangle hémi^
PRISME TRIAKGILAIHE HÉMIUÉGL'LIER. i83
rëguMler, tandis qu'elle estessenlielleinent zéro sur son përimètre.
On peut exprimer le terme simple des séries précédentes^ par les deux seuls nombres impairs [(i^ v), en éliminant les autres entiers à Taide des relations (i8) et (27), qui donnent
\z= — (fA-hv), X,= |x~v, pi, =:2v-hfA, V, = —(2fA4-v);
d'où résultent, pour la constante 0' (19)9 et la fraction facteur
Mais cette élimination de X et ii détruit la symétrie des arcs (21 ) ei(35), et complique la fonction 11^.
SCI.
