PRISME HEXAGONAL RÉGULIER. I9I

paver toul l'espace avec des prismes de la même forme et syatëlrîquement placés. 11 semble, d'après cela, que la loi de son refroidissement par communication puisse s'exprimer généralement, ou pour toul état initial, par une série trigonométrîque et périodique. Mais, pour qu'il en soit ainsi, une condition essentielle lui manque. Le plan de chacune de ses faces latérales, indéfiniment prolongé, ne contient pas seulement des faces limitant les autres prismes, comme cela a lieu pour les polyèdres précédemment traités ; il contient aussi, et alternativement, des sections diamétrales.

La série doit donc exprimer que le plan d'une face latérale ne conserve la température zéro, que sur des bandes de même largeur, séparées par d'autres bandes d'une largeur double, où la température peut être variable et quelconque. Or, la traduction analytique de ce genre de discontinuité, exige l'introduction de termes, où les variables entrent sous des int^rales définies. Et ces termes, d'une nature que nous ne considérerons pas, ne peuvent disparaître de la série totale, qu'avec la discontinuité elle-même.

Le refroidissement du prisme hexagonal régulier, ne peut donc s'exprimer, particulièrement, par une série trigonométrique et périodique, que si ses faces latérales et ses plans diamétraux satisfont à des conditions identiques. Si les faces sont entretenues à la température zéro, il faut que l'état initial apporte une symétrie calorifique inverse par rapport à chacun des trois plans diamétraux, afin qu'ils conservent aussi la température zéro. Si, au contraire, l'état initial apporte une symétrie calorifique directe par rapport aux trois plans diamétraux, ces plans n'étant alors traversés par aucun flux, il faut qu'il en soit de même des faces latérales, c'est-à-dire qu'elles soient imperméables à la chaleur.

Dans l'un ou l'autre cas, les températures initiales ou variables de l'un des six prismes tri angi^l aires réguliers, dé-

Ip2 ONZIÈME LEÇON.

coupés par les plans diamétraux, assigneront celles des cinq autres. Donc, pour résoudre ces deux cas particuliers, il suffit de savoir traiter généralement, ou pour tout état initial , le refroidissement du prisme triangulaire régulier, lorsque ses faces latérales sont entretenues à zéro s'il s'agit du premier cas, lorsqu'elles sont imperméables s'il s'agit du second. Et ces deux problèmes ont été résolus dans lesleçons précédentes.

Jusqu'à présent des séries particulières, pour le prisme à base carrée, le cube, ou le prisme- triangulaire régulier, sont devenues des séries générales pour d'autres corps. Maintenant Tinverse a lieu : les séries générales du prisme triangulaire régulier, donnent des séries particulières pour le prisme hexagonal. C'est une seconde route, en quelque sorte ascendante, qui peut conduire à de nouveaux polyèdres, et qu'il importe d'explorer. Dans ce but, il est nécessaire de bien établir le premier exemple rencontré, en ramenant à leurs expressions analytiques les plus simples, les deux solutions particulières qui viennent d'être définies.

§ cvi.