SÉRIES MULTIPLES COMPARÉES

Lorsqu'il s'agit des corps solides homogènes et non cristallins, les polyèdres traités dans les leçons précédentes, sont les seuls dont le refroidissement par communication puisse s'exprimer à l'aide d'une fonction V trîgonométrique et périodique, quelles que soient les températures primitives. Un d'entre eux se distingue par une propriété caractéristique: pour tous, quand l'état initial est constant, la température V est donnée par une série multiple, dont tous les coefficients sont numériquement évaluables-, or, le prisme triangulaire régulier est le seul pour lequel cette série multiple n'est que double. Elle est triple pour tous les

autres. Indécomposable (juand il s'ap;it des tétraèdres 7;^

et ^, [(27), § LXXX, et (36), § LXXXIIl], elle est le

produit, d'une série simple V,^, [(27). § LXIII], par une • série double indécomposable pour les prismes triangulaires

igo ONZIEME LEÇON.

-» et héini régulier, [(29), ÇLXXII, et (61), SC], de trois

séries simples X^ pour le prisme rectangle, celui à base carrée, et le cube.

Quant à la série double du prisme triangulaire régulier, elle est le produit, d'une série simple V„, par une série V^ [(57), § XCIX], simple aussi, mais de nature essentiellement différente : car, de ces deux séries, formées Tune et Tautre avec des sinus, la première emploie exclusivement les nombres impairs (2/ + !), et la seconde les nombres pairs (aX). D'ailleurs, quand t = o, si la série V„ devient r unité pour tous les points d'une ligne droite, et zéro à ses extrémités, la série V^ devient Vanité pour tous les points d'une surface, celle du triangle équilatéral, et zéro sur le périmètre de ce triangle \ la seconde série a donc une tout autre portée que la première. Ces propriétés analytiques du prisme triangulaire régulier méritaient d'être signalées. Et l'on remarquera qu'il eût été difficile, sinon impossible, de les apercevoir avec un autre système de coordonnées que celui des (P, F, P'^), dont la symétrie est en quelque sorte calquée sur celle du prisme.

Il existe d'autres polyèdres, dont le refroidissement par communication s'exprime encore par des fonctions irigonométriques et périodiques, mais seulement quand l'état initial, d'accord avec leur symétrie géométrique, apporte les symétries calorifiques inverses qu'exige la loi générale du paragraphe LXXXIV. L'exemple qui va suivre indique nettement le moyen de reconnaître tous ces nouveaux po* lyèdres.

§ cv.