PRISME HEXAGONAL RÉGULIER. I

Les trois coordonnées (P, P', P") vérifiant toujours la relation

(2) P-hP'-hP'' = o,

le facteur W peut être pris sous la nouvelle forme

(3) W = sm 2 /tt — h sin 2 /ir h sin 2 In — •

Dans les facteurs (1^,, v^) conservés (pour lesquels le résidu lî, du § XCVI, est zéro, ceux aux résidus, d = -|-i, J = -|- 2, étant supprimés), les nouveaux nombres entiers (/, m, /i), qui sont inégaux, et dont un au moins est négatif, satisfont à Féquation

Les arcs polynômes ( 21), du paragraphe LXXXVIII, ont actuellement les valeurs

p-u p-i-//iP' + /ir)=A. ,

(wP-f.«P'-h /P'') = A,,

||^(/îP-f-/ P'H-//iP") = A3,

^|^(/iP-f-/^iP'-h/P") = A'.,

//iP-h/ p'-h/zP") = A;,

(/ P-+-/I P'H-/wP")=A'3,

en supprimant les multiples additionnels de 2 7r (c'est-àdire les 277: du § XCVI), et les lettres c et ^, affectées des mêmes indices et accents que la lettre A, dési-

194 ONZfÈME Lï:ÇON.

gnant les cosinus et sinus de ces arcs, on a

Enfin, la constante t*, de la première exponentielle (i), est

en substituant respectivement les multiples (3/, dm^ in) aux entiers (X, fx, v) de 6* (19); ^LXXXVIII.

La série (i), ainsi composée, n'exprime le refroidissement du prisme triangulaire régulier, dont les faces latérales ont pour équatioDS

que lors d'un état initial particulier qu'il s'agit de définir. Les six arcs (5) formant trois couples, dans chacun desquels la coordonnée P a le même coefficient, les demi-sommes des arcs de chaque couple deviennent, à l'aide des relations (2)

et (4),

=r /2 TT — •

Les trois différences de cosinus, (c, — c\), (cj — cj, (cj — c,), dans p»! (6), les trois sommes de sinus, (^1-1-^3), (^f-h s\)^ (sz-hs\), dans p»,, ont respectivement pour facteurs les sinus des arcs (9), ou

sin /tt — 5 sm /7i TT - 9 sin ntr -f r r r

PRISME HEXAGONAL RÉGULIEtl. IpS

lesquels deviennent zéro, puisque (/, ^^ n) sont des nombres entiers, quand

(lo) P=r, P = o, P = — r.

Les facteurs, i',, v^j, sont donc nuls sur les trois plans parais lèles représentés par les équations (lo). On constate, de la même manière, en groupant les arcs (5) par les coefficients de P', de P", que les facteurs, p»! et p»,, sont nuls sur les plans représentés par les équations

I P' = r, P'=o, P' = — r, l P"=rr, P'i=o, P'^= — r.

Quant à W (3), rappelant la formule de trigonométrie élémentaire

sin rt -h sin ^ -i- sio c =.

4 sm sm sm h sin ( a 4- 6 -f- c),

dont la vérification est d'ailleurs facile, et ayant égard à la relation (2), on met ce facteur sous la forme

W= — 4 sin/TT - sin/WTT -sin rnr -,

et l'on voit qu'il s'annule, comme Ui et p»,, sur les neuf plans (10) et (11).