CAS DES FACES LATÉRALES IMPERMÉABLES

D'après le § CI, la série (i) exprime le refroidissement du prisme hexagonal, dans le second cas défini au § GV, si, toutes choses égales d'ailleurs, on prend pour composer les facteurs trigonométriques (i^i, p'j, W) les sinus au lieu des cosinus, et réciproquement, c'est-à-dire, si l'on pose

W = cos 7.1 n h CCS 7. In h ces 2 lit — :

l'RISMES OBLIQUES. 21 3

Or la différence (U — U') des facteurs (12) est nulle quand

^ = --» et change de signe, en conservant la même valeur

r' X* x' y absolue^ quand on y remplace*^ par 7- et — par — • Donc,

lorsque la série (16) exprime le refroidissement du prisme ayant deux arêtes primitives (A, B), la tempéralure reste fixée à zéro sur le plan diagonal dont l'équation est

et, de plus, les températures sont toujours égales et de signes contraires pour deux points, le premier m', aux coordonnées quelconques (j/, y\ z')^ le second m", dont les coordonnées [x'\ y'\ z") sont liées à celles de wl par les équations

Puisque z"=z\ la droite m" m' est parallèle à la base du prisme oblique, et les deux dernières relations (18) donnant

cette droite est parallèle au second plan diagonal que re-* présente l'équation

et coupée en son point milieu par le premier (17). D'après

PRISME HEXAGONAL BÉGULIER. ^O I

maux (i8), du prisme hexagonal, ne seront traversés par aucun flnx, dans le second leur température restera fixée à zéro.

Les deux solutions qui précèdent ne sont que particu<lières, puisqu'elles exigent que les températures primîlives du prisme hexagonal se reproduisent, soit avec les mêmes signes, soit avec des signes contraires, dans les six prismes triangulaires composants; de telle sorte que ces symétries calorifiques soient d'accord avec la symétrie géométrique du polyèdre. Or, il y a lieu de penser que de telles solutions restrictives sont réellement plus importantes pour les applications, que celles qui embrassent tous les cas. Car, si la grande complication de ces dernières solutions disparait pour les premières, n'est-ce pas une preuve que celles-ci sont plus naturelles?

§ ex.

RÉSEAU DU TRIANGULAIRE RÉGULIER

La série qui exprime généralement le refroidissement par communication du prisme triangulaire régulier, étant étendue à tout l'espace, donne quatre suites de plans, parallèles et équidistants, dont la température reste à zéro. L'une des

Fig. i3.

PRISMES OBLIQUES. ai 3

L'équation à la surface est : V, = o, quand

y =-y; ■ pourç'.

:r' = ^y; pour*".

La triple intégration, faite dans cj', étant indiquée symboliquement par

1^0'...= v^ f d'J Tr/cx'...,

on prend respectivement

Ç dx' Ç dy. ., pour*',

</jr'. . ., poiir^.

Par les mêmes raisonnements qu'au § LXXI, on arrive, dans les deux cas, k

ABC

Ce qui donne enfin, pour le coefficient M, la valeur gêné

RÉSEArX TRIANGULAIRES. 2o3

doone le réseau plus compliqué, mais plus fécond, de la figure ci-joînte.

Si Ton défiuit un premier triangle à Taide du signe -h, celui qui le touche par un côté commun à Taide du signe — , un troisième ^ui touche le second à Taide du signe -f-, et ainsi de suite, on vérifie que la loi générale, du § LXXXIV. est reproduite par rapport à chaque ligue tracée. Car, tout côté que contient cette ligne sépare deux triangles symétriquement placés, dont l'un aie signe -f-, l'autre le signe — ; ce qui montre que leurs températures sont symétriquement égales et de signes contraires, comme pour les deux triangles de départ.

Ce second réseau indique les polyèdres, pour les({uels la série de l'hémirégidier peut être particulière, et que l'on peut désigner par leurs bases. On trouve là : deux prismes triangulaires réguliers, l'un DO avec ses trois plans bissecteurs à zéro, l'autre AAc avec un seul; le prisme à base losange A JOc, déjà défini, avec ses deux plans diagonaux à zéro; le prisme hexagonal du §CVII, avec la symétrie ^'alorifique inverse par rapport aux trois plans normaux et bissecteurs, {bVÏ/cf^cfc) ; le même prisme hexagonal différemment découpé (IB'JA^'OA); deux autres prismes hexagonaux plus grands, dont l'un AIJA'JT est inscrit, et l'autre BB'B'^CCC circonscrit à un même cylindre; des prismes pentagonaux irréguliers, Kebcf^ AcO/I, Alft'VT, AliVI; un prisme à base quadrilatère A eftg^; des prismes JecUngles lg:0/, IJJ'I' ; même un prisme octogonal irrégulier AIB'JA'J'Cr.