CAS GÉNÉRAL DU MUR

Les leçoAS qui vont suivre ont pour objet d'étudier la loi intégrale du refroidissement des corps solides de forme polyédrique, lorsque leurs faces rayonnent la chaleur vers une enceinte dont la température fixe est prise pour zéro.

Dans ces circonstances, s'il s'agit d'un milieu homogène et non cristallin, Téquation générale est

où le coefficient k est le rapport! — | ? du produit du calorique spécifique F par la densité A , à la conductibilité constante q. L'équation à la surface a devient

[dv ^ d\ dy ^ \

($5 ^' K) ^^*^^ ï^^ angles que la normale extérieure, en chaque point de or, fait avec les [x^ y, z)\ la. conductibi-

BEFROIDISSEMENT PAR RAYONNEMENT. SlQ

qu'avec ces valeurs, on a identiquement

(45) M.X,-hM.X,-+-M,X, 4-... = f(a:)

tant que x reste compris entre — a et -h a.

D'après Tidentité actuelle des signes (36) et (37), et les intégrales (32), le groupe (39) est résumé par la valeur générale

Avec ce coefficient, l'état initial ((x) est développé par la série (23), et la série (22) donne définitivement la fonction V, qui exprime la loi intégrale du refroidissement d'un mur solide, lorsque ses deux faces ont des conductibilités e^érîeures différentes / et /'.

Lorsque l'état initial f est une température constante prise pour unité, de l'intégrale indéfinie

J ffi^ J dx^ tn^ dx

et des valeurs (20) et (10) on déduit // N r'*"% / sinfx+sinfx^

fraction qui, divisée par le second membre de (32), détermine M; puis avec ce nouveau coefficient, V (22) devient particulièrement

et donne, quand < = o, la série trigonométrique très générale

3aO ' , DIX-SBPTfkMB LEÇOIN.

dont la valeur est constamment Tunité, lant que la variable X reste comprise entre — a et + a.

§ CLXXI

CAS DES FACES SIMILAIRES

La loi intégrale du refroidissement d'un mur dont les faces sont similaires, ou ont le même pouvoir rayonnant, se déduit de la solution plus générale qui précède. Alors /' = /, d'où fjL^=fi(g)'^ le complément «|/ (lo) se réduit

î — 9 et suivant que Tentier i est pair (ai), ou impair

(àjf -4- i), le facteuf X (i6) reste un cosinus, ou devient un

sinus. Il convient déconsidérer, séparément, les deux cas;

les lettres (X, m, fi) conservées pour le premier, étant

remplacées par (S, /i, v) pour lesecoii^,«les deux facteurs

distincts, et Téquation multiple qui régit le paramètre et

son augment pour chacun d'eux, sont

i X = cosnijc, ma = /tt -|- /x =

al tangf*'

f S = sin nx, na =jn -\ h v =

\ 2 tangv

Les propriétés réciproques de ces facteurs résultent du théorème (26), qui donne les trois suivants

(5o) if ^f'Zj'€fx = o,

X/Sy</r = o,

HEFROIDISSEMENT VJiK RAYÔ2lirBlCl£IIT. 3a i

desquels le dernier est évident, puisque l'élément différen-^ tîel est une fonction impaire en x^D'un autre côté, le groupe (49) donne immédiatement

— — X-7-) = — X-7- =-^%inmacosmaf \m flxja \m dx I .^

(i ^dZ\ li^dl\ — ( — S — ) = ( —S — I = — s \n dx 1 a \n dx ) ^^

et l'on a, d'après l'intégrale définie (a8),

-sin/?/icosna,

„ , //îrt 4--SlD/IIÛCOSiWÛ X*r/J7 = s

' , na — sin /la cos/ia

'Vdxzz^

La fonction V (22), actuellement composée de deux séries distinctes, est

-rn«i -n^i

(55i) y= VMef ^cosmj: + 2'N^ ^sinux,

et la reproduction de l'état initial, quand f = o, exigeant l'identité

(53) ^^co^mx-^ 2)Nsio/ix=f(j:),

les théorèmes (5o) permettent d'isoler chacun des coefficients M ou N, dont les valeurs générales sont