VARIÉTÉS DE L'ÉTAT INITIAL

Dans ce cas des faces similaires, quand l'état initial apporte une symétrie caloriGque, soit directe, soit inverse, par rapport au plan moyen (x == o), cette symétrie se 'Conserve pendant toute la durée du refroidissement. En effet, si f (x) est une fonction p^ire, ou impaire, en x, le coefficient N> ou M (54), disparait par son intégrale alors composée d'éléments qui se détruisent^ et les termes aux coefficients M, ou N, existant seuls dansl^ série (5^), la fonction V est aussi paire, ou impaire, quelle que soit Tépoaue t.

Généralement, Tétat initial se compose dé deux parties,

la première paire en x, et la seconde impaire. Alors les termes de la série (53) aux coefficients M, ou aux fonctions simples codmx, développent la partie paire, et ceux aux coefficients N, ou aux fonctions simples sinno:, développent la partie impaire ; car on peut réduire f (a:), à P (x) seul dans l'élément de Tiniégrale (54) pour M, àl(x) seul dans Tintégrale pourN, la partie complémentaire a' annulant dans les deux cas. A Taide ^^s mêmes réductions, la première partie de la série (52) exprime la température variable du mur, avec une symétrie directe apportée par

REFROIDISSEMENT PAR RÀTOlIXtîEMEliT. ' 3^3

P(jr), la seconde exprime la teoipëratare variable du même corps, avec une symétrie inverse apportée par I (x). Et la somme de ces températures partielles donne la température y, qui résulte de Pctat initial composé (55).

Si le mtur a primitivement, et dans toute son étendue,"^ une même température prise pour unité, alors

N (54) est nul, on a (^sinma) pour le numérateur de M*, la fonction V (Sa) devient

(56) V = 2 > : e " cosmx.

^^ ma -^sin ma cos ma

et donne, quand ^ = o, une série trigopométrique particulière, dont la valeur est constamment Tunité, lorsque x reste compris entre — a et -h a.

Si la première partie du mur, comprise entre les plans (x = -h fl, j: = o), a primitivement la température 4- i, et la seconde moitié la température — i, alors

M (54) est nul, on a (i — cos na) pour la moitié du numérateur de N; la fonction V (52) est

e smnx

sxnna C09 na

et donne, quand i = o, une seconde série trigonométriquc dont la valeur est, constamment 'hidex = okx = -ha^ — idex== — asiX = o,

Dana ces deux exemples, si la valeur absolue des températures constantes primitives était C, au lieu deTunité^ les solutions ne différeraient des précédentes, que par le facteur placé en dehors des séries (56) et (57), et qui serait iC

REFROIDISSEMENT PAR RATOlIXtîEMEliT. " 3^3

P (x) , la seconde exprime la température variable du même corps, avec une symétrie inverse apportée par I (x). Et la somme de ces températures partielles donne la température y, qui résulte de l'état initial composé (55).

Si le miur a primitivement, et dans toute son étendue,"* une même température prise pour unité, alors

N (54) est nul, on a (2sinmâ) pour le numérateur de M; la fonction V (5^) devient

ma + sinma ces ma

■ e coêmx.

et donne, quand ^ = o, une série trigopométrique particulière, dont la valeur est constamment Tunité, lorsque x ' reste compris entre — a et -h a.

Si la première partie du mur, comprise entre les plans (x = -h a, j: = o), a primitivement la température 4- i, et la seconde moitié la température — i , alors

M (54) est nul, on a (i — cos/ia) pour la moitié du numé- . rateur de N ; la fonction V ( 5 2 ) est

/i- X „ ^1 (î — cas na) """*! .

(5n) V=2 y — ^^ : ^— e *sin/ia:

^ ' Jmd na — sm na cosna

et donne, quand i = o, une seconde série trigonométriquc dont la valeur est, constamment + idea: = oàj!: = -hû, — idex = — akx = o,

Daiit ces deux exemples, si la valeur absolue des temperaturefit constantes primitives était C, au lieu ^^l'unité^ les solutions ne différeraient des précédentes, que par le facteur placé en dehors des séries (56) et (§7), et qui serait aC

REFROIDISSEMENT PAR RAYONWEMEWT. 325

des l(a:) en siniTT— La limite inférieure, /=o, a lieu, quand les deux faces du mur sont Jmperméables, ou sans flux 5 alors (jt et v (49) sont nuls 5 d'où, m = — > ^ ___ V -^ ' ^ . chaque coefficient (54) se réduit encore à son intégrale divisée par a, mais à Texception de

= — / î[x)dx.

coefficient correspondant à 1=0, dont le dénominateur

est 2a, et qui donne la température finale du mur, quand

sa chaleur initiale s'est répartie uniformément dans tonte

son étendue^ ici, les développements en séries, desP(a:)

jc . 2 / -f- 1

sont en cos/tt -> des I(x) en sin TTjr.

Lors des deux conductibilités extérieures différentes / et l\ on pourrait aussi considérer, séparément, les facteurs, paramètres, et augments, pouripair (2/), et pour i impair (27 + *)^ les lettres (X, m, /:/, fx') conservées pour les premiers, étant remplacées par (H, w, v, v') pour les seconds, la première expression (16), en y substituant à u sa

valeur (iTT-h/x), et chassant par développement l'arc — >

donnerait alors les deux fonctions distinctes

X = CCS ( tnx -h ^ U 2 = sin f «jr H ) >

en écartant l'ambiguïté des signes. Mais tant que /' ne serait pas égal à /, et conséqueinment jx' à fi, et v' à v, la différence dans les formes des fonctions précédentes, ne signalant pas une différence dans leurs parités, cette distinction introduirait une complication, qui ne serait corn-

REPROIDI&SEMEJiT PAU RAYONWEMEWT. SaS

des I(a:) en sin/TT— La limite inférieure, /=o, a Heu, quand les deux faces du mur sont jmpermëables, ou sans flux 5 alors (x et v (49) sont nuls^ d'où, m= — ?

n = ^ TT', chaque coeBBcîenl (54) se réduit encore à

son intégrale divisée par a, mais à Texception de

ï{a:)djc.

coefficient correspondant à i=o, dont le dénominateur

est 2a, et qui donne la température finale du mur, quand

sa chaleur initiale s'est répartie uniformément dans tonte

son étendue^ ici, les développements en séries, desP(j:)

sont en cosin -5 des Ilx) en sin Tijr.

Lors des deux conductibilités extérieures différentes / et l\ on pourrait aussi considérer, séparément, les facteurs, paramètres, et augments, pour 1 pair (2/), et pour i impair (27 + 1)5 les lettres (X, m, ^, fx') conservées pour les premiers, étant remplacées par (S, n, v, v') pour les seconds, la première expression (16), en y substituant à a sa

valeur («TT + fx), et chassant par développement l'arc — >

donnerait alors les deux fonctions distinctes

X = coslmx-h ^ ) ? 2 = sin ( «jr H ^ ) >

en écartant l'ambiguïté des signes. Mais tant que l' ne serait pas égal a /, et conséquemment fx' à [ij et v' à v, la différence dans les formes des fonctions précédentes, ne signalant pas une différence dans leurs parités, cette distinction introduirait une complication, qui ne serait com-

PRISME liECTANGLE RATOHMAUT. 3^J