V.=XY
X*et Y étant les facteurs définis aux tableaux I et II. Car la fonction V, (3) vérifie : i** Téquation générale (2), d'après les relations différentielles qui commencent ces tableaux; 2'^ les conditions des faces (.rrr-^-f-a, x = — a) par X, d'après les deux dernières équations de la première ligne du tableau I; 3" les conditions des faces (y = 4-i, y=, — 6) par Y, diaprés les équations homologues du tableau II. I.a fonction in tégraleV prend la forme
d'une série douUe, s'étendant à tous les larmes simples (3), ou A toutes les valeurs des entiers 1, 1 . L'introduction de
PRISME RECTANGLE RAYOMMANT. 33 1
I état initîal/pour < = o, oonduit à l'identité nécessaire
(5) 2MXY = f{^,jr).
On isole chaque coefficient M, a Faidedn facteur XYdir^, par la double int^ration de x= — a à x=-f-a, de J^ = — h à jr=:-f-J^ qui fait disparaître tous les antres coefficients, d'après les premières propriétés énoncées aux quatrièmes lignes I et II, et Ton a, d'après les secont^s,
(6) ^ M = ^^r'n'f(:c,r)XYd:.dX.
Telle est la valeur générale du coefficient M, qui rend le premier membre de (5) identique au second, tant que x reste compris entre — a et + a, j^ entre — iet -h A, et qui détermine la loi intégrale (4) du refroidissement de la poutre, par le rayonnement inégal de ses quatre faces.^
§ CLXXVI
S'il s'agit d'exprimer le refroidissement d'un prisme rec« tangle dont les six faces
t jr = -h fl, et x= — fl,
(7) \ r = -^b, et r = -^,
z=z-r-e^ et ï = — c,
ont respectivement les conductibilités extérieures /et fj
3qiO DIX*8EPTIfilfB LEÇON.
dont la valeur est constamment Tuniië, lant que la variable X reste comprise entre — a et -H «.
« § CLXXI
CAS DES FACES SIMILAIRES
La loi intégrale du refroidissement d'un mur dont les faces sont similaires, ou ont le même pouvoir rayonnant, se déduit de la solution plus générale qui précède. Alors /'=/, d'où |x^ = fx(9)^ le complément ^ (lo) se réduit
^ — 5 et suivant que Tentier i est pair (21), ou impair
(a/ -f- i), le facteur X (16) reste un cosinus, ou devient un • sinus. Il convient déconsidérer, séparément, les deux cas; les lettres (X, m, il) conservées pour le premier, étant remplacées par (S, /i, v) pour le second 9* les deux facteurs distincts, et l'équation multiple qui régit le paramètre et son augment pour chacun d'eux, sont
Les propriétés réciproques de ces facteurs résultent du théorème (26), qui donne les trois suivants
( X = Qosmxy
al
ma = l'jv-^ u.= 5
Ungf*
r s = sin /îx,
n al
na =jn -\ h v =
2 tangv
(5o) \ j 2f'Zj'€lx=zo,
lLiÂjdx=i o,
3qiO DIX*8EPTlàllIB LEÇON.
dont la valeur est constamment Tunité, tant que la v riable x resté comprise entre — a et -h a>
§ CLXXI
CAS DES FACES SIMILAIRES
La loi intégrale du refroidissement d'un mur dont le^ faces sont similaires, ou ont le même pouvoir rayonnant, se déduit de la solution plus générale qui précède. Alor» /' = /, d'où fx'=fx(9)-, le complément ^ (lo) se réduit
^ — 5 et suivaut que Tentier i est pair (az), ou impair
(àjf -f- i), le facteur X (i6) reste un cosinus, ou devient ua sinus. Il convient déconsidérer, séparément, les deux cas; les lettres (X, m, ^l) conservées pour le premier, étant remplacées par (S, /i, v) pour le second ,^ les deux facteurs distincts, et Féquation multiple qui régit le paramètre et son augment pour chacun d'eux, sont
al tangf*
l X = coswj:, ma z= ifc -^ ii z=- — — — 9
f s = sm nxy na =y7r -\ h v =
\ 2 tangv
Les propriétés réciproques de ces facteurs résultent du théorème (26), qui donne les trois suivants
HiXifdx = o,
[50) { f S/2/^jr = o,
I X/ Âjdx = O,
3aa DIX-SEPTIEMB LBÇOIÎ.
d'après les intégrales (5i). A^ec ces ooefficients, Félat initial f(x) estdéyelQpgé par la série (53), et la série (Sa) donne la fonction V, qui exprime la loi intégrale du refroidissement d^un mur solide, lorsque ses deux faces ont le même pouvoir émissif s, ou la même conductibilité extérieure /.
§ CLXXII
