CAS D'UN PRISME INDÉFINI

L'interprétation physique de l'égalité (87) devieut plus précise, quand on exprime le refroidissement du prisme indéfini, de base cj, de périmètre «, par le rayonnement de sa paroi latérale, lorsque son état initial, constant sur une même parallèle à l'axe, pris pour celui des -z., ne dépend que de (x, y). La fonction V, de (^,y, t) seulement, est régie par les équations

Vo = f(^,j);

composée avec les facteurs et les constantes (a, 6*) du groupe (3i ), son intégrale a la forme

(4o) v = gMa^ ^

et reproduit f, quand f = o, avec le coefficient

I dcT.fu

I dd.u"

Si l'on considère, alors, une portion du prisme indéfini, comprise entre deux sections parallèles dont la distance est l'unité de longueur, l'équation (37) exprime que, si Tétat initial est un facteur i/, la quantité de chaleur que

LOIS GtoÉRALES. 345

perd ^etle portion, pendant toute la durée du refroidissement, par le rayonnement latéral, est précisément égale à l'excès de chaleur qu'elle possédait primitivement.

La relation (37), entre deux intégrales, Tune double^ et l'autre simple, paraît indiquer que pour obtenir la première il doit être préférable d'évaluer la seconde. Mais, dans le fait, c'est l'inverse qui a lieu, par suite du facteur 6*, qu'il faut reconnaître dans la seconde, et qui la rend plus compliquée que la première.

Pour exprimer la loi intégrale du refroidissement par rayonnement, d'autres polyèdres que le prisme rectangle, il faut spécifier leur forme, ou particulariser leur base à s'il s'agit de prismes droits-, puis, chercher les expressions analytiques des facteurs U, ou m, et les équations aux paramètres 0,^u 0, exigées par la vérification du groupe (16), ou (3i). Or, à très-peu d'exceptions près, ces expressions et ces équations sont telles, que leurs variables et leurs inconnues entrent sous des intégrales définies \ genre de solution en quelque sorte étranger à la partie principale du Cours actuel, et qu'il convient d'écarter de ses dernières leçons. Heureusement, si peu nombreux qu'ils soient, les polyèdres exceptionnels sont faciles à reconnaître, car ils ne sont autres que ceux dont le refroidissement par communication, peut toujours s'exprimer par des séries trîgonométriqnes et périodiques. Ainsi, outre le prisme rectangle déjà traité, on a, le prisme triangulaire à base rectangle isocèle, le prisme triangulaire régulier, et Thé-

mirégulier, les tétraèdres^ et — • Nous aborderons ces polyèdres dans les deux leçons suivantes. Et, leurs solutions, jointes à celle du prisme rectangle, justifieront, par le fait, et par leur marche même, la loi que nous venons d'énoncer, comme régissant les exceptions.

D'ailleurs, comme on Ta vu dans plusieurs des leçons

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précédeutes, un simple changement des sinus en cosinus, et des cosinus en sinus, sufïil; pour déduire, de la série qui exprime le refroidissement par communitation d'un polyèdre, celle qui exprime le refroidissement du même corps lorsque toutes ses faces, ou plusieurs d'entre elles, sont imperméables à la cbaleur, ou sans flux. C'est-à-dire qu^aux deux limites extrêmes, /= oo et Z = o, la série a la même forme 5 ce qui rend presque certaine la conservation de cette forme lors des valeurs intermédiaires.

PRISMSS TUAKGVLAIBES RATOlfKANTS 347

Refroidîsfteraeat par rayonnement da prisme trian^rnUire à t>Me reetangle isocèle. — RefroiduBement par rayonnement dn prisme triangulaire régulier, aux faces latérales similaires, lors d'un éut initial symétrique.— Cas de Tétat initial constant à même hauteur.

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