PU

d'v fpv ,,,,

Avec trois paramètres quelconques [m^ ^^ p]') ^^ les trois arcs (a, P, 7), moindres que -, dont les tangentes reproduisent respectivement les quotients de /, par m, par «, par /?,

TÉTRAÈDRES RATONNAIfTS. " 385

l'équation (23) de la face (7, admettra les trois expressions

et (m, m', ï/) désignant les trois parenthèses (26), U sera

(30) U= Ma cos Ç -f- Na' ces Ç' -♦- Pm ' cosÇ". On reconnaît facilement que le facteur u donne .-• du du n '\- p du n — p du

et que deux iransi^rmations successives le mettent sous la forme

CCS (32)tt =

[H- cos ( "9= (r+^) +

d'où résulte qu'en passant à la face a, à Taide des ( 29), on a les deux valeurs

( cos(^--.l, — aV— Ç')cosf-4(r — •'^)^1 ( + cos {« + X— ^V - t:') cos ^ -^ ( J - :r) M

( - 71 V^ sin (.% — JU- -V— l')cm (^ (j — ^A )

les deux cas, il snfit de traiter le premier, oq d^admettre que rétai iDÎtial apporte une cosjmélne cakMrifiqoe directe, n s^apt, maîntenaot, de trouver quelles relations doivent exister entre les paramètres (m, n, p)y les arcs complémentaires {iLf >, p) et les coeflicienU (M, N, P), pour que U (6) Téri6e la condition (4) à la face (x= z) ; ce qui suffira, car, d'après la cosymétrie établie, la condition à la £M:e (/ = — z) sera conséquemment satisfaite.

$ CXCVl.

a^DITK^'S DES FACES INCLINÉES.

Les six termes de D (6) forment trois couples, distincts par le facteur commun en jr. Si Ton extrait, de cbaqtie couple, la fonction trigonométrique en (z, x), que multiplie le facteur en jr, pour la substituer seule à U dans le trinôme

le résultat définitif de cette substitution partielle, doit s^an* nuler, séparément, quand x=z z. Ainsi traitée, la fonction

( 8} [Pcos{pz — p) ces {nx — 0G) + N cos (nz -4- v) ces (px — 9)]

qui correspond au facteur cos (nry — 311), donne Féqualion finale

cos(/i — p)z

p[A^cos(3'G — p) — (/H-/>)sîb(X— p)] -4-N[Av^cos(*-|-t>) — (;i-f-/?)sin(Ç-Hv)]

sin (n^p)z[ P[^v'âsin(X~p)H-(/H-f>)cos(^-p)]| ( -^ N [—A v^sin(«-hv) — (il -4-/?)cos($ + h)] }

-hcos{n-^p)z

■ sin

P[^ V'2cos(X -h p) — (« '-p)sin{3fi^ -f- p)] I n[â v/2cos($ ^ v) 4- (/i — /?) sin(« — v)] I

f -4- n[A v^2sin(« - v) — (/i ~/.)cos( ^ - V )] )

iy6 VINGTIÈME LEÇON.

qui, devant être satisfaite quel que soit 2, exige que les ijuatre parenthèses principales { • • • | » soient nulles, toutes, et séparément.

De là résultent quatre équations de condition, entre (w, p, V, p, N. P). Si l'on pose, pour simplifier

(10) = tango.l,, = tangX,

cl) et x' étant deux arcs, moindres que - en valeur absolue, le premier positif, le second positif ou négatif, ces équalions de. condition donnent, pour le rapport -> les quatre valeurs

/ s\n{A> — ■ ^ — v) cosfX — ^— v)

\ sin(i)^— p — JL)' cos(^— p — X}'

' sin($-~vH-Jl.^) cos(^— v-f-XQ

sin(X-4-p — X') cos(5^-+-p — X ')

lesquelles doivent être identiques. L'égalité des deux premières (11) exige que la différence des deu:i arcs (5^ — p — x), (Jl) — ^ — v), soit un multiplie ît:. 1 /égalité des deux dernières {i i) exige pareillement que la différence des arcs (3Î^ -f- p — x' ) , (^ — v -h Jl,' ) soit un multiple/ tt •, et le rapport (P : N)étanlcosi7r par le premier couple, cos/tt par le second, il faut qye les multiples itt etyTr soient tous deux pairs ou tous deux impairs. En résumé, les relations

= /tt + 2JI0,

-hv

= y>-h2cA./,

F - =cos/7r = cosyTr,

où les entiers (z,/) ont même parité, sont nécessaires et suffisent pour que l'équation (9 ) soit satisfaite, quel que soit z.

TÉTRAÈDRES RAYONNANTS. 3^^

Pareillement, la fonction trigonométrique en (z^x)

( 1 3) [M cos(mz — ft) co&(px — ($)-h P ces ( /;« -h p ) cos(mx — Dît)]

qui multiplie cos (ny — >%)au second membre (6), substituée seule à U dans le trinôme (7), donne un résultat qui s'annule quand a: = ^, si ayant posé

on établit, entre (<î, .m, p, |tx, P, M), les relations

/ ^ -f- ;)li -h p — fx = i'tt -f. 2DÎ,, (i5) ] $-01L -hp4-ft=/7r.-|-2ift,',

[ ■— = COSITT = COSy TT,

où a et/ sont des entiers de même parité. Enfin, la fonction

(16) [Ncos(/?z — v)cos(/wa: — OIL) -f-Mcos(/wz-|-f*)cos/f.r — <D1^)],

facteur de cos [py — $) dans U (6), annule le trinôme (7) quand x = z^ si, posant encore

/ -,\ ^v/^ Ai/2

^'^^ mi^ = ^^"S*' — ^— =tançr',

on introduit les dernières relations

OÏL 4- X -+- fA — V = Ttt -h 2 r,

(18) I DR.— X-+-fx-hv=/7rH-2r',

— =COS/ TT =:COSy TT,

M où i" et/'', nombres entiers, ont même parité.

TÉTRAÈDRES KAYOWNAWTS. 389

sVx|irimer par une série irigoiiomélrique, où les variables Dentrent pas sous des iotégrales définies, que si la face inclinée (7 a la même conductibililé extérieure que les deux faces verticales et similaires (x = o,j' = o), la face horizontale (^ = 0) ayant d'ailleurs un pouvoir éinissif quelconque.