XIX

EMPLOI DU PÂRALLÉLIPIPÈDE.

On arrive directement à Téquation générale (3a), en considérant Je parallélipipède rectangle élémentaire, aux côtés (dx^ dy^ dz)^ dont M est le sommet le plus voisin de l'origine. Soient (A, B, C) les trois faces du prisme, respectivement perpendiculaires aux (x,y^ 2), et qui forment le sommet M, (A', B', C) les faces opposées; on aura

ik = h! = dydz,

'c =C'= dœdy.

Les flux élémentaires des faces (A, B, C) entrent dans le parallélipipède, ceux des faces (A', B^ CI) en sortent.

L'excès du flux entrant par A sur celui sortant par A' donnera un premier gain de chaleur. Pour l'évaluer, soient M, et M', les centres des faces parallèles A el.A'^ cî, el d\ les symboles des variations que subit une fonction de

28 DKUMKME LEÇON.

(j:, j, z) appaileiiaiit au point M, lorsqu'on passe succèssivcmenl de ce point aux centres M, et M' . D'après la première expression (24), et les premières valeurs (34), l'excès dont il s'agit sera

Or, la droite qui joint les centres M, et M', étant parallèle aux X, et égale en graudeur à rfx, les variations totales tî', et ai comprendront les mêmes variations partielles suivant les (j^, z)j di n'en aura pas d'autre, mais cî', comprendra en outre la variation partielle suivant x\ on aura donc

dx et l'excès cherché est détinitivement

—r- ilx dv dz dt .

dx -^

On trouve, de la même manière, pour l'excès du Uux entrant par B sur celui sortant par B'.

-— -^ d.v dy dz dt ;

et aussi, pour l'excès du llux entrant par C sur le Uux sortant par G

î dx dy dzdt.

dz ^

La somme de ces trois excès donne une première expression du gain total de chaleur, qui, occasionnant l'accroisse-

dV ment de température — dt^ dans le prisme dont le caloricjue

spécifique est T, la densité A, et le volume dx dy dz^ a cou-

PRINCIPE JUSTIFIÉ. — LOIS GÉNÉIlALKS. 21;

sé([ueninicnl pour seconde expression

TA -— - • dxdydzdt, dt *^

Or, si Ton égale ces deux expressions, et qu'on supprime les quatre différentielles qui multiplient tous les termes, on retrouve définitivement Téquation (Sa), et sa réduite (33).

Cette coïncidence était nécessaire. Car la loi réelle qui régît les flux coordonnés lors de l'état «tationnaire, ou qui donne réchauffement successif des points du milieu, doit s'exprimer analytiquement de la même manière, quel que soit le polyèdre élémentaire que l'on considère pour l'établir. Et, quand deux polyèdres, aussi différents que le tétraèdre et le prisme rectangle, conduisent à la même loi, on ne peut plus douter de sa réalité.

Maintenant, si, pour abréger Texposition de la théorie actuelle, on voulait employer un seul polyèdre élémentaire, et qu'il fallût choisir, entre le prisme rectangle, introduit par Fourier, et le tétraèdre, imaginé par Cauchy, c'est évidemment le dernier qu'il faudrait préférer. Car, outre l'équation générale (32), il établit la relation (3o), au moins aussi importante, puisqu'elle fait dépendre tous les flux en un même point de trois seuls flux coordonnés. Avec le prisme rectangle, cette relation reste inaperçue-, et, comme elle est essentielle, on n'éviterait pas un double emploi.

Si l'on se rappelle que les relations qui existent entre les forces élastiques, dans les milieux solides, ont été découvertes à l'aide du tétraèdre, on pensera que l'idée d'introduire ce polyèdre élémentaire, a peut-être contribué, plus que tout autre, aux progrès de la physique mathématique.

3o DEUXIÈME LEÇON.