ÉQUATION A LA SURFACE

Les fonctions A» étant exprimées linéairement, à Taide des dérivées premières de la fonction V, leur substitution, dans Téquation (32), la transforme en une équation au^ différences partielles, linéaire et du second ordre, qui régit la température. Maïs si l'on se propose d'intégrer cette équation générale, ou de déterminer la fonction V, dans le cas d'un corps solide de forme donnée, il faut connaître, et exprimer, la loi particulière des flux qui traversent la surface. Et c'est pour cela que .la relation (3o) est essentielle.

D'après la loi physique du rayonnement de la chaleur, si le corps est isolé dans une enceinte ayant une température fixe prise pour zéro, le flux de chaleur

qui traverse, dans le temps dt^ un élément w de la surface, doit être égal à tùdt^ multiplié par le pouvoir émîssif £ de l'élément, et par l'excès de sa température actuelle V, sur celle zéro de l'enceinte, ou à

De là résulte Téquati on ^ îl-|-eV = o, ou, d'après (3o), celle-ci

(35) (mil, -f-/îa^H-/?n, -|-sV)^c^o,

laquelle n'a lieu que pour les points appartenant à la surface t7 du corps. C'est-à-dire que, pour en faire usage, il faut substituer aux (.r, j^, z) les coordonnées de ces points

PRINCIPE JUSTIFIÉ. LOIS GÉNÉmALES. 3l

particuliers, dans V, dans ses dérivées qui composent les fî„, dans les fonctions (m, n^ f)) qui représentent les cosinus des angles que la normale extérieure fait avec les axes, et même dans e si le pouvoir émissif est variable' d^un point à un autre.

Ainsi, la fonction V devra vérifier Téquation générale (32) transformée, pour tous les points intérieurs au corps solide considéré^ et Téquation (35), pour les seuls points appartenant à la surface a. Les formes extrêmes de celte équation (35), dite à la surface, correspondent aux deux cas où le pouvoir émissif e est infini, ou nul. Lors du premier, Téquation se réduit à

c'est celle qu'il faut employer, cpiand le corps se refroidit dans un bain, entretenu à une température constante prise pour zéro. Lors du second cas, la même équation devient

ou ily = 0, et exprime que le corps est disposé de telle sorte, qu'à toute époque, la température étant la même de part et d'autre de sa surface, aucun flux de chaleur ne la traverse.

§ XXL ÉQUATIONS LORS DES œRPS NON CRISTALLINS.

S'il s'agit d'un corps homogène non cristallin, ou de Tunique flux (^3), les facteurs îl„ sont

32 DEUXIÈME LEÇO>.

et si Ton pose, pour simplifier, le rapport

l'équation générale (32) devient

£/'V d^W d^y dV

(^^^ Ih^'^'d^^'d^-^'dF'

Sous celle forme, qui reste la même pour tous les systèmes orthogonaux d'axes recti lignes, elle exprime la loi qui régit la fonction V de (x, y^ z, f), lorsque le corps s'échauffe ou se refroidit.

On en déduit l'équation

pour exprimer la loi de Téquilibre des températures, lorsque le milieu est à l'état stalîonnairc, ou que V ne varie pas avec le temps.

Enfin, posant encore le rapport

r('(|ualion a la surface (35) se présente sous la forme

// ^ / ^V dV dV ^\

PEIHCIPE JUSTIFIÉ. LOIS GÉNéllALBS, 33