LES AXES DÉDUITS DES DIAMÈTRES

D'un autre côté, les relations (17)9 qui expriment la vérification de Tidentîté (17 615), donnent plus simplement

Bm'

Bp'

Cm"

CnT

Cp"

pour les seules valeurs admissibles des (a/, j^, V). Et ces valeurs devant être les mêmes aux deux groupes (24) et (a5), l'égalité nécessaire des coefficients de (x, y^ ou r), de part et d'autre, conduit à neuf relations, que l'on peut concen-

46 TROISIÈME LEÇO?^

trer dans le groupe suivant

Ira' \x3 u^ ! ^ o ^

la lettre ^ étant successivement, ou m, ou /i, ou/7, tandis que 11 est respectivement, ou a, ou ^, ou c.

Ce groupe (26) donne, par Télimination des q^^'^ l'équation finale

et on peut le remplacer par l'égalité multiple

eu s'aidantdes dernières (22).

L'équation (27), développée, réduite par les relations (22) et (23), puis ordonnée en u', quand on a chassé les dénominateurs, devient

H- (B»C»<r -f- C'A'd' -h A'B'ff") w' — A'B'C'o = o.

Étant du troisième degré en 14*, elle donne par ses racines les trois carrés (a*, &', c') des axes cherchés. Enfin, sur

ellipsoïde peiscipal. 4/

les sections piiiicipales de l^ellipsoïde, on doit avoir rospeetivement ( x = o, ^r = o, z = o ), ou

d'après les formules (14)-» ou encore {3o) TT-— -=-^

A'T-|-7iî= BVh-7'ii» C^t' + y"»' '

d'après Tégalité multiple (28). Et, si Ton y substitue, successivement, à u* les trois racines obtenues (a*, i', c*), Téquation (3o) donnera, en coordonnées obliques, les plans de ces sections principales. Ce qui complète la solution du problème posé. Par suite des proportionnalités supposées, et de rhomogéuéité des équations (29) et (3o), on peut substituer, aux carrés des diamètres conjugués, les coefficients mêmes du premier membre de Tidentité (i3), et les racines u* seront ceux du second membre.