XXXVII

ellipsoïde des conductibilités.

Si, pour chaque élément-plan, dont le centre est en M, on prend, sur la ligne / de son flux oblique, une longueur L,

ellipsoïde des conductibilités. 5g

proportionnelle au coefficient p qui lui correspond, les extrémités de toutes les lignes ainsi prises, formeront une certaine surface représentative des conductibilités. Il s'agit de trouver Téquation de cette surface.

L'origine des coordonnées étant transportée en M, et (x, j^, z) représentant les projections sur les axes de la ligne L, ou les coordonnées de son extrémité mobile, on aura, d'après ces définitions, et les valeurs (9),

d où Ton conclut la proportion multiple

j étant le rapport constant de la quantité p à la ligne L qui la représente. Ce qui donne les relations

ou, en substituant aux ($,>?, (^) leurs valeurs (7),

iaM — vN -h fAP=/^> vM-f-pN — XP=yr, — fxM+>N-4-7P=y2.

On isolera successivement les (M, N, P), en ajoutant ces relations {12), respectivement multipliées par les facteurs binômes do chacune des trois roloniics du tableau

QUATRIEME LEÇaiV.

Xp — v7

XfA-f v7

jiv — >a

v>-ptp

liv 4- >.a

ap-+- V

et, si l'on introduit les expressions

('4) ap7H-aV4-pp'-f-7v'=E,

/ (?7-+->')j^-t-(VH-v7)r-f-(vA-f*p)z = F, (l5) I (V — ^7)«+(7â-+-p')j + (p+Xa)z =G,

le résultat de cette opération sera

{16) EM=yF, EN=yG, EP=yH.

Or la somme des carrés des cosinus (M, N, P) doit être l'unité^ on a donc nécessairement

et, avec les valeurs (iS), cette équation {17) représente la surface cherchée. C'est un ellipsoïde, que nous appellerons des conductibilités f dont les axes diffèrent généralement, et par leurs directions, et par leurs grandeurs relatives, de ceux de T ellipsoïde principal dont l'équation est

Lorsque le milieu cristallin possède l'égalité symétrique, les coefficients (X, ^, v) sont nuls, dans les fl„ (1). Les expressions {14) et {i5) se réduisent à

(19) E = ap7; F='P7.r, G = 7aj, R = ol^z;

ellipsoïde des conductibilités. 6i

el réqualiou (17) devient

jc' r^ s- I V i a' p* 7' /

Alors l'ellipsoïde des conductibilités a ses axes dirigés comme ceux de Tellipsoïde principal^ mais de grandeurs proportionnelles aux carrés de ces derniers.

Rcmarquonsici que le rapport constant / (i i) est en quelque sorte arbitraire, puisqu'il dépend de l'échelle qu'on adoptera pour l'ellipsoïde des conductibilités; échelle qui n'a aucune liaison nécessaire avec celle de l'ellipsoïde principal, et que définit la grandeur de la ligne r. Si l'on prenait / = -' '' représenterait la conductibilité constante 9;

la conductibilité variable p étant représentée par L, on aurait la proportion très-lucide o\q \\\j : r-, le second

ri.

membre de Téquation (20) devenant -jj cette équation

retrouverait l'homogénéité de celle (18); et d'autres simplifications résulteraient de ce choix. Mais, comme il n'a rien d'essentiel, nous laisserons le rapport y indéterminé, afin qu'il soit bien constaté que les lois qui régissent les conductibilités sont complètement indépendantes de sa détermination.