LOIS LORS DE L^ÉGALITÉ SYMÉTRIQUE

Résolvons le premier pfviblème dans le cas particulier de 1 égalité symétrique ou de l'ellipsoïde des conductibilités :

Les (X, fji, v) étant nuls, les équations (7), § XXXV, rapprochées des relations (1), donnent inimédialement

(3) Mrzz'^, N = f, P = :^'^

et l'équation du plan cherché est

[(X, Y, Z) étant les coordonnées courantes rapportées à l'origine M]. Pour interpréter cette équation^ soit Li la

distance MM, qui sépare M du point Mj, aux cordonnécs (xi, j^i, Zj) où la droite L perce rellipsoïde principal :

le plan tangent en Mi à cet ellipsoïde est donné par l'équation ,

ou bien, puisque l'on a les proportions

(6) ^^lL — ll.--h,

LOIS DE I.A CONDUCTIBILIT

par

celle-ci :

xTL r\ zZ L/-.

et le plan (4) lai est parallèle.

Ainsi, dans le cas actuel, quand on connaît la direction d'un flux oblique et son coefficienjl p, ou bien la direction et la graadeur d'un rayon vecteur L de l'ellipsoïde (2), qui perce en Mj l'ellipsoïde (5), on aiira le plan co, traversé par ce flux oblique, en le menant parallèle au plan tangent de l'ellipsoïde principal en Mr.

Passons à la stJution du problème inverse. Si l'on désigne par px la perpendiculaire abaissée de M sur le plan ( 7) , une formule connue donne

et, puisque les (^,^'5 ^) vérifient l'équation (2), le dénominateur de la valeur précédente étant remplacé par -» et /L par p, on a

Ainsi, lors de l'égalité symétrique, pour déterminer la direction du flux oblique qui doit traverser un élément co donné, et aussi la grandeur du coefficient p correspondant, on mènera à Tellipsoïde principal un plan tangent parallèle à «5 le rayon vecteur Li = MMi, allant au point de contact Ml donnera la direction du flux; et le produit de ce rayon vecteur Lj, par la perpendiculaire p^ abaissée de M sur ce plan tangent, donnera le coefficient p, en multipliant ce produit par q et le divisant par r^.

^8 CINQUIEME LEÇi)N.

Parliciilièrenicnl, si rélémcnt w esl sur l'tine des seclions principales de l'ellipsoïde (5), la perpendiculaire p^ et le rayon vecteur L, se confondent et ont même 'grandeur: leur produit devient, ou : — ? ou — > ou ^» d'^pi^ ^ 17 9 ^ ^

Téquation (5), et |0 (8) est égal, ou à a, ou à |3, ou à y.

Si Ton substitue dam les équations (3), aux (x^yy z)j leurs valeurs en (x^^y^^ «i) déduites des proportions (6); que l!on remplace /L par p, puis p par^a valeur |8); on a définitivement

équations qui expriment tout simplement les cosinus (M, N,P) des angles que fait, avec les axes, la perpendicu* laire abaissée sur un plan tangent à l'ellipsoïde principal, à l'aide de celle perpendiculaire même et des coordonnées du ji)inl de contact, sans qu'il y reste rien de ce qui se rapporte au cas de l'égalité symétrique.