XVI DISCOURS PRÉLIMINAIRE

qui traverse un élément-plan (|uele()U(|ue, eontienl, non-seulement la variation, de la fonelion cherehée, normale à cet clément, mais aussi ses variations tangentielles; ou, plus simplement, que le flux est oblique, et non normal; c'est-k-dire qu'il est proportionnel a la variation de la température, prise dans une certaine direction, oblique à l'élément.

Mais, il existe, en chaque point, trois élémentsplans rectangulaires entre eux, pour lesquels seuls le flux est normal; et si l'on prend les coordonnées rectilignes parallèles aux intersections de ces éléments, lesquelles ont des directions constantes dans toute l'étendue du milieu homogène, l'équation aux différences partielles du second ordre, qui régit la température, a la même forme que celle de Fourier, mais avec trois coefficients distincts au lieu d'un seul.

Pour entrer dans la phase définitive que j'ai indiquée, il ne reste plus qu'à écarter la restriction imposée par l'identité admise des valeurs de la fonction-facteur pour deux directions opposées l'une à l'autre. On y parvient aisément. Alors, il peut se fair^ qu'il n'y ait qu'une seule direction de Télément-plan, pour laquelle le flux soit normal, et Ton ne peut plus employer la méthode, si élégante, de Duhamel, pour réduire l'équation aux différences partielles, à la même forme que celle de Fourier.

Mais, on démontre, d'une -autre manière, que, dans le cais général, ou sans restriction aucune, il existe toujours un système d'axes rectangulaires, et un seul, qui reproduit la forme cherchée avec trois coefficients distincts. En outre, si l'on imagine un ellipsoïde, avant ses trois axes parallèles à cçux de ce système

DISCOUUS PRI^LIMINAIRE. KVll

orthogonal unique, et proportionnels aux racines carrées des trois coefficients trouvés, la même forme est conservée, pour tous les systèmes de coordonnées obliques, qui rapportent cet ellipsoïde à des diamètres conjugués.

Cette dernière propriété générale, si simple 'et si naturelle qu'on a pu la trouver évidente, est surtout fort importante par l'extension qu'elle donne à la théorie. Elfe appartient, nécessairement, au cas très^ étendu considéré par Duhamel. Et l'on peut dire qu'elle se retrouve aussi dans le cas si restreint traité par Fourier, car, alors, par l'égalité des trois axes, l'ellipsoïde devient une sphère, et les diamètres conjugués sont rectangulaires.

En un mot, dans ces cas divers, il existe toujours une infinité de systèmes d'axes, pour lesquels l'équation aux différences partielles a la forme cherchée. Ces systèmes sont tous rectangulaires, lors d'une conductibilité constante. Un seul est rectangulaire, et tous les autres obliques, lors d'une conductibilité changeante. Il me semble que ce genre de parallélisme méritait d'être signalé ; et peut-être ne lui manque-t-il qu'un peu de complication pour être érigé en théorème important.

Outre rellipsoïde précédent, que j'appellerai princi*palj il y a lieu de considérer une autre surface représentative. Si, a partir d'un point du milieu, on porte sur la direction du flux, normal ou oblique, qui traverse tout élément-plan passant par ce point, une longueur proportionnelle au coefficient, qui mesure la conductibilité correspondante à cette direction, les

XVIII DISCOURS PRIîlLlMIWAIRK.

secoudes extrémités de toutes les lignes aiiui prises, forment un second ellipsoïde^ celui des conductibilités, lequel se réduit pareillement a une sphère, dans le cas traité par Fourier.

Lors de l'égalité symétrique, considérée par Duhamel, les axes de l'ellipsoïde des conductibilités ont mêmes directions que ceux de Tellipsoide principal, et sont proportionnels à leurs carrés. De plus, chaque demi-diamètre du premier ellipsoïde, représente la conductibilité correspondante au flux oblique, qui traverse Télément-plan parallèle au plan tangent de Tellipsôïde principal, au point où ce demi-diamètre le rencontre.

Lors du cas général, ou sans restriction aucune, les axes de l'ellipsoïde des conductibilités, et ceux de l'ellipsoïde principal ont des directions différentes. Mais, on démontre qu'il existe un système de coordonnées obliques, et un seul, par lequel les deux ellipsoïdes se trouvent, l'un et l'autre, rapportés à des diamètres conjugués. Il résulte de cette propriété, que, pour un même ellipsoïde principal, une infinité d'ellipsoïdes des conductibilités seraient admissibles. Et comme il n'en saurait exister qu'un seul lors de l'égalité symétrique, on a ainsi une sorte de mesure de la restriction qu'il importait d'écarter.

Dans tous les cas, les propriétés des surfaces du second ordre suffisent, pour énoncer, très-simplement, les lois les plus générales de la conductibilité, lesquelles rappellent, et celles des moments d'inertie, et celles des forces élastiques. Et, tout porte à penser que ces rapprochements ne sont pas de simples analogies,

DISCOURS PRÉLIMINÂlRt:. XlX

mais qu'ils inâîquent une véritable convergence, d'où Ton pourra déduire une identité. Les vérifications physiques ne manquent pas à la théorie que je viens de résumer : car, les anciennes et belles expériences de Senarmont, signalent bien nettement l'existence de l'ellipsoïde des conductibilités.

On verra, dans le Cours actuel, comment la physique mathématique, désormais purifiée, parvient a combler cette lacune, qui me désespérait jadis. Aujourd'hui, et grâce à Duhamel, l'horizon est bien changé ; car, la théorie analytique de la chaleur, parvenue h sa phase définitive, peut aborder maintenant tous les polyèdres cristallins, sans exception. A l'aide des coordonnées obliques , sinon orthogonales , toutes les facettes , toutes les troncatures, observées sur les cristaux naturels, s'associent de manière à former, des parallélipipèdes, des rhomboèdres, des prismes triangulaires ou hexagonaux, des tétraèdres, des octaèdres, des dodécaèdres rhomboïdaux, réguliers ou irréguliers, dont le refroidissement par communication s'exprime h l'aide des séries périodiques.

Et cette généralisation s'étend immédiatement à la théorie de l'élasticité. En effet, lorsqu'il s'agit des vibrations, dites longitudinales, d'un corps solide homogène, les projections du déplacement moléculaire sont les dérivées d'une même fonction, qui doit vérifier une équation aux différences partielles, aussi simple que celle de la chaleur. Et, les deux équations, ici comparées, sont tellement liées l'une a l'autre, qu'il suffit de remplacer les exponentielles, et les sinus, par des cosinus, dans la série périodique qui exprime le

XX DISCOURS PBÉLIMJNAIRE.

refroidissement par communication d'un polyèdre, pour obtenir la série qui exprime Tétat vibratoire du même polyèdre, lorsque les molécules de sa surface n'en sortent pas. De là résulte une explication trèslucide, et très-précise, du phénomène de la cristallisation ; théorie physique, que nous aurons l'occasion d'esquisser.

J'ai suffisamment défini, maintenant, le point de vue nouveau, sous lequel je présenterai la théorie inaugurée par Fourier. On pourra me reprocher d'avoir autant parlé de l'élasticité que de la chaleur, d'avoir constamment fait marcher de front leurs deux théories, quoique ce Cours ne dût s'occuper que d'une seule. C'est que, en réalité, les deux théories, si différentes quand on les prend à l'origine, vont en se rapprochant de plus en plus, à chaque nouveau progrès.

Leurs marches ont été les mêmes. Leurs premiers, et surtout leurs seconds principes, avaient des analogies évidentes. Et maintenant on découvre entre elles une multitude de points de contact. L'étude des conductibilités, et celle des coefficients de l'élasticité, emploient les mêmes méthodes, ont recours aux mêmes transformations, nécessitent la solution des mêmes problèmes, conduisent à des représentations géométriques identiques. Et si, comme il y a lieu de l'espérer, l'étude des concamérations polyédriques finit par pénétrer le mystère de la constitution intérieure des milieux pondérables, ce nouvel instrument, de la théorie de l'élasticité, aura été découvert par celle de la chaleur. -