DEUX PLANS DIAGONAUX SANS FLUX

On peut limiter le nombre des termes de la série (4)» de telle sorte que non-seulement le plan diagonal, y r=.x^ soît imperméable, quel que soit f, mais aussi que son conjugué, j: -f- j^ = û» le soit pareillement. Pour tout élément 0), parallèle au dernier plan, la fonction îî, facteur du flux qui le traverse, est

I [dy dy\

il faut donc que la somme des dérivées en x et en y^ ai*

l32 HUITIÈME LEÇON.

V (4), s'annule pour jc -f- ^ = «, et cela quel que soit t \ ce qui exige que cette condition soît vérifiée séparément par le facteur en [x^y] de chaque exponentielle. Dans la série

double ce facteur étant *sin ITT- sin ITT-» la- somme de ses

deux dérivées, qui se réduit à — siniTT > satisfait à la

condition posée. Dans la série triple, le facteur en [x. y) se

compose des deux termes de (5) réunis avec le signe (-+-) ,

à l'aide de deux transformations successives, semblables à

celles de (5), la somme de ses dérivées peut se mettre sous

la forme

(i-f/')7f. i-\-i' x-i-y z — i" J7— jr

•^ — Sin TT ' • ces TT

a la 1 a

i . Sm ' TT — • COS TT

qui montre que cette somme s'annulera pour x -h y = û, si

et sont des nombres entiers, c'est-à-dire si i

et i' sont, ou tous deux pairs, ou tous deux impairs.

n suffira donc de supprimer les termes de la série triple (4)» dans lesquels i et l' ont des parités différentes, pour que le second plan diagonal reste imperméable comme le premier, pendant toute la durée du refroidissement du prisme à base carrée. D'où l'on peut conclure que la symétrie calorifique existera de part et d'autre du nouveau plan : car, pour passer du point n à son symétrique //, il suffit de remplacer x par a — y, et y par a — a: ; alors le facteur en (x, y) de W reprend la même valeur, multipliée par COS* ITT ou -h I ; et le facteur en (x, y) de (U 4- U') reprend aussi la même valeur, multipliée par cositt cosi'n ou + i, puisque /* et i' ont actuellement la même parité.

PRISME TRIANGULAIRE

§ LXXVI

PRISME TRIANGULAIRE

La série (3) limitée aux termes dans lesquels les entiers (z, i') ont même parité, n'exprime particulièrement le refroidissement du prisme à base carrée, que si les quatre prismes triangulaires, découpés par les deux plans diago-

Fig. 8.

naux, ont des températures primitives symétriquement égales et de signes contraires par rapport à chacun de ces plans \ de tqjle sorte que Tétat initial, d'ailleurs quelconque, de l'un de ces quatre prismes, assigne nécessairement celui des trois autres. De là résulte, que la même série ainsi limitée, exprimera généralement le refroidissement du premier prisme triangulaire (Or'AB'CF), lorsque ses cinq faces

jr=o, j:=7, a: = a— j, z = o, z = c sont entretenues à la température zéro ) en bornant au vo-

l34 HIJITIÈME LEÇON.

lume que comprennent ces faces, les intégrales qui déterminent les coefficients.

Ce polyèdre, que nous appellerons prisme triangulaire jt

a encore pour base un triangle rectangle isocèle 5 il est donc

jie même forme que le prisme triangulaire -> et la série

actuelle qui exprime le refroidissement du même corps ne différera de celle du § LXXI, que par la position des axes

coordonnés, et par -p substitué au côté a. Mais la série

particulière (4), pareillement limitée aux termes dans lesquels (/, /') ont même parité, pourra servir à exprimer généralement, ou pour tout initial, le refroidissement du même corps dans un cas nouveau : celui où, les deux bases et la face hypoténuse étant entretenues à zéro, les deux faces latérales orthogonales sont imperméables à la chaleur.