CUBE

pour les six fonctions

U, = sin / TT - sin /' TT --sin/"7r-5

U, = sÎQ /' TT - sin /'^TT - sin / TT - »

U3 = sin /"tt - sin / tt - sîn i'n - j a a a

l]\ = sin /" n " sin /' tt - sin /tt - »

l], = sin/'7r-sin in - sinTTf -»

\]\ = sin I TT - sin /" tt - sin /' tr - :

de telle sorte que dans la vsérie V mise sous la forme

(8) V=gu^ *^

le facteur U sera le polynôme

/ M,U,-hM;i]',,

(9) U= -hM,U,-hM',l]'„

(-4-M3U3-hM;U'„

comprenant, six termes quand (1, ^', i'^) sont tous différents, trois termes seulement si deux de ces nombres sont égaux, un seul terme s'ils ont tous trois la même valeur. La reproduction de l'état initial exigera l'identité

L'isolement du coefGcient 31L, de tout terme simple 3Tt<?, faisant partie d'un polynôme U (9), s'obtiendra toujours en multipliant l'identité (10) par 'Çrfcy, et intégrant dans le volume tr du cube : car, par cette opération, tous les termes

l36 HtJITlÈME LEÇOIV.

du premier membre autres que le terme choisi, disparaîtront, ceux appartenant à un autre ii* d'après le théorème général (i4)» S LVIII, ceux groupés sous le même 0* d'après le théorème particulier du § LXI -, et l'on aura

/ :Ç'dw

Jts

Le signe symbolique des intégrations définies étant

frffj. ..= 1 dx \ dy \ dz..,y çy c/o *^0 *^0

une triple application de la formule (20), § LX, donnera invariablement f - | pour le dénominateur ; d'où

Avec cette valeur générale de ses coefficients, la série (8) exprimera le refroidissement par communication du cube de côté a, quelque compliquée que soit la fonction f.

Dans cette série (8) appartenant au cube, les trois entiers (1, 1', i") ont absolument des rôles identiques, car ils affectent successivement^ et de la même manière, des arcs en x^ en j^ et en z^ On déduit^ de cette identité, la même conséquence qu'au § LXVI. Si, pour traiter un cas particulier du refroidissement du cube, il faut que, dans le polynôme général U (9), les trois entiers (/, 1', V) aient des parités différentes, que par exemple un seul soit pair et les deux autres impairs, on peut adopter exclusivement- i pour le nombre pair, /', i'^ pour les impairs, et la série (8 ), ainsi modifiée, sera aussi complète qu'il est nécessaire^