CHAPITRE PREMIER

1. La théorie de l'élasticité a pour objet Tétude des déformations des corps sous Taction des forces. De même qu*en mécanique, nous distinguerons une partie cinématique et une partie dynamique. Nous commencerons par étudier les déformations au point de vue cinématique, c'est-à-dire sans nous occuper des causes qui les produisent.

2. Hypothèses. — - Considérons un point M du corps, de coordonnées 07, y, z\ après la déformation, il occupe la position M' et ses coordonnées sont : it? + ?> y 4" ^1» ^ "h î-

Les quantités $, tj, ^ sont les projections sur les trois axes du vecteur MM' qui représente le déplacement du point M.

Nous les supposerons assez petites pour qu'on puisse négliger leurs carrés. C'est ce qui arrive en général pour un milieu indéfini ou un corps dont toutes les dimensions sont finies. Ce n'est pas vrai pour des plaques minces ou des verges

iLASTICITÉ. \

2 LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLASTIGITÉ

de section faible, c'est-à-dire pour des corps dont une ou deux dimensions sont très petites.

Nous supposerons aussi l, v|, ^ fonctions continues de œ, y,z\ si ces fonctions étaient discontinues, il y aurait rupture du corps.

Nous considérerons les dérivées de Ç, tj, Ç comme des fonctions continues de x, y y x^ sans quoi les réactions élastiques seraient très grandes; les forces appliquées au corps, qui leur font équilibre, le seraient également, ce que nous ne supposons pas.

8. Considérons deux points M et M| dont les coordonnées sont respectivement a?, y, ^ et a? -j- Sa?, y -f- Byi -2' -f- %z. Nous les supposerons suffisamment voisins pour qu'on puisse négliger les carrés de Sa?, 8y, Iz.

Après la déformation, ces points viennent en M' et M'^ ; leurs nouvelles coordonnées sont :

^ + 5, y + -ni -ar + Ç et

a? + Sa? + Ç -f 8Ç, y + Sy + iri + St^, ^ + 5>3' -f^ Ç + oÇ.

Développons E -f- 8i par la formule de Taylor

les termes non écrits étant négligeables puisqu'on néglige les carrés de Sa?, Sy, S^.

Faisons maintenant :

ÉTUDE cinématique: des déformations 3

les coordonnées du point M, sont x — Ç, y — tj, ^ — J. Celles de M', seront :

€t l'on aura :

«t les égalités analogues donnant li[ et 8C

Les quantités S ^t — sont du premier ordre, h\ est donc du

second ordre, et par suite on peut le négliger. La même remarque s'applique à Stj et à $(•

Donc, si la déformation amène le point [x, y, z) à coïncider avec le point (^ + 5» y + ^j -2- -f- î)» elle amènera le point (x — 5, y — Tj, T — Ç) à coïncider avec le point (a?, y, z).

Cette remarque nous sera utile plus loin.

4. Dilatations et glissements. — Supposons que le segment MM| soit parallèle à oo?, et soit Sa? sa longueur : quel est rallongement que lui fait subir la déformation?

Nous avons :

HTir;-^ = (Sa? + i\Y + (sy + ^)* + {^* + sï)'-

Mais ici ly et S^ sont nuls, puisque MM| est parallèle à Taxe des x\ d'autre part, Stj et Si; sont du second ordre (^), St|' et IX} sont donc du quatrième ordre. En les négligeant

(1) Je dis du second ordre parce que je coosidère do) comme un infinimeut petit du premier ordre de même que \\ mais je ferai remarquer que, iiomme ces deux quantités sont indépendantes l'une de l'autre, il n'y a aucune raison pour les regarder comme du môme ordre, et que, si je le fais, c'est en verta d'une convention arbitraire.

nous avons :

M'M', = Sx -f 8S.

Or Zy et Zz étant nuls, 5Ç se réduit à -r- Zœ, Donc

rf?

et-p est l*accroîssement de Tunité de longueur prise parallèlement à oœ, c'est-à-dire la dilatation linéaire suivant cette direction. Nous poserons — = 0L^; les coefficients de dilatation suivant oy et oz seront de même

dy\ dt,

5. Nous allons étudier la déformation d*un rectangle infiniment petit dont les côtés sont parallèles aux axes ox et oy. Soit MNPQ ce rectangle, nous poserons :

MN = 8a7 MP = Zy

Après la déformation, MNPQ deviendra un quadrilatère curviligne assimilable à un parallélogramme rectilignc M'N'P'Q',80it «p la valeur de l'angle P'M'N' D'après ce que nous avons vu dans le paragraphe précédent

on a:

Les coordonnées de Q seront a? -|- Sa?, y + ^y» ^» ^^^c :

puisque 8^ = o ; négligeons BÇ^, qui est du quatrième ordre, et remarquons que Ton a :

8a? + 8Ç = Sa? + -T^ 8a? + ^ 8t/, ' ' oo? • cfy

c'est-à-dire :

Nous en conclurons en continuant à ne pas tenir compte des infiniment petits du quatrième ordre :

D'autre part :

^ M'p = ^ 8v 4- — • ^ 8v dy dy y '^ dy dy ^'

On peut donc, à l'ordre d'approximation de nos calculs, remplacer :

ce qui donnera :

rf?

[Ix + 5Ç)» = M'N''^ + 2^ • M'N' . M'P' ;

on aura de même :

{ly + 87|)» = HT'2 + 2 ,^ • M'N' . M'P'.

6 LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLASTIGITÉ

Donc:

W^ = Snir^ +"Srp'' + 2 ^^ + ^V wW. wF.

Mais on a aussi :

M'O'^ r= "HT^T'^ 4- JAV^ + 2 cos (p . M'N' . M'P'. Il s'ensuit:

^ dy dœ

On voit que cos 9 est infiniment petit, l*angle (p est donc Toisin de 5» et en négligeant les termes du développement

de sin ( ^ — ?) 9^^ suivent le premier, on a :

w dj . dy\

2 "■ ^ "" rfy + rf^'

, ir

L'angle P'M'N',qui élait au début égal à y est devenu aprè* la déformation

2 \dy ^ cte/ '

pour cette raison, la quantité 3" "l* t' ^^^ appelée dilatation angulaire.

Nous désignerons les trois dilatations angulaires par p| , Pu p8> c'est-à-dire que nous poserons:

P< ~ rfy ^ rf;r

P2 - rf^ "^ eto

Quelquefois aussi ou appelle ces quantités glissements, La raison en est simple.

Pour passer de MNPQ au parallélogramme M'N'P'Q', on peut procéder de la manière suivante :

1® Allonger les côtés du rectangle dans le rapport i -{- «i pour MN, 1 + «2 pour MP;

2* Déformer le rectangle ainsi obtenu M,N|P|Q, supposé articulé, de façon que la projection de P^Q, sur M|N| glisse sur cette droite de la quantité p, X M^P^ qui aux infiniment petits du second ordre près est aussi p, . MP.

Si donc MP est égal à l'unité de longueur, il faudra faire glisser cette projection de la quantité p,.