ÉQUATIONS D'ÉQUILIBRE. — PRESSIONS
31. Pour avoir les équations d*équilibrc, nous allons appliquer le principe des vitesses virtuelles, c'est-à-dire, puisque les molécules sont supposées libres, écrire que la somme des travaux virtuels de toutes les forces, extérieures et intérieures, est nulle, quels que soient les déplacements virtuels SS, ^, Z^.
La somme des travaux des forces intérieures est 8U; quant aux forces extérieures, nous les diviserons en deux classes :
i® Les forces appliquées à toutes les molécules du corps {telles que la pesanteur). Soit dx un élément de volume ; les forces appliquées aux diverses molécules de cet élément ont une résultante dont nous désignerons les composantes par Xc?T, Yû?T, Zc?T, car elle est du même ordre de grandeur que félément de volume. Nous la supposerons appliquée au centre de gravité de l'élément. L*on voit facilement que le couple résultant est, dans ces conditions, infiniment petit d'ordre supérieur et par suite négligeable.
Nous poserons:
X|, Y^, Z^ élant les valeurs de X, Y, Z dans Tétat d'équilibre naturel ; X,, Yj, Z, sont les forces additionnelles qui font passer le corps élastique de Tétat d'équilibre naturel à Tétat d'équilibre contraint : ce sont les forces déformanics;
â° Les forces appliquées seulement aux molécules superficielles. Soit d(û un élément de la surface du corps ; nous désignerons par Fxdtû^ PyC?<û, P^dio les projections de la résultante des forces appliquées à cet élément (le couple résultant étant nul comme précédemment).
Écrivons l'équation des vitesses virtuelles. Le travail des forces intérieures est :
= Sy'(W, + W2) dr =fz (W, + Wj) dr,
celui des forces extérieures est :
f{xzi + ysti + zac) dx +y (PotBÇ + Py87i + p,5!;) di^
la première intégrale étant étendue à tout le volume, la seconde à toute la surface du corps élastique. L'équation s'écrira donc :
fz (W^ + W2) dr +J(X8$ + YStj + Zôï) dz
+/(P;r8S + PyZri + P,8i;) dio =
ÉQUATIONS d'équilibre. — I»UESSI0.N5 57
32. Transformation de l'équation. — L'expression W, -f- Wj est un polynôme du deuxième degré par rapport
aux neuf dérivées partielles -^ v:' Désignons par
A. H, \jf A . . • Lj
ses dérivées par rapport à ces neuf quantités, de façon que Ton ait :
Fîcrivons, pour simplifier, Téquation des vitesses virtuelles en supposant Stj := 8C = o (puisque les déplacements virtuels sont arbitraires, cela est légitime). Nous aurons puisque :
^ (Il (loi
Nous allons transformer la première intégrale en intégrant par parties. Pour cela rappelons une formule importante en physique mathématique : soient F une fonction quelconque, dx un élément de volume pris à rinlérieur d'une surface fermée, cUù un élément de cette surface, /, m, n les cosinus directeurs de la normale à cet élément, dirigée vers Textérieur ; on a :
58 LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLASTIGITÉ
En posant F = UV cette formule devient :
oLx
On a donc:
= Jlkl\di^-' j Si^rfT,
et par suite:
L'équation des vitesses virtuelles devient alors :
J{kl + Bm + Cn + P;^) BÇc^co
Cette équation devant avoir lieu quels que soient les déplacements, on en conclut :
AZ -}- Bm + Cn -}- Pa: = o d\ , dB , dC ^
la première équation devant être satisfaite sur toute la surface du corps et la seconde dans tout le volume.
ÉQUATIONS d'équilibre. — PRESSIONS 59
On obtiendrait de même :
A7 4- Bm 4- O'n + Py = o k^l + B"m-}- CTn-f P, = o dk' , dW . dC ^
rfA" rfr f^' ^ __ dx dj/ * dz
33. On peut se demander ce que deviennent nos équations d*équiUbre quand on suppose que les molécules du corps élastique, au lieu d'être libres, sont soumises à des liaisons. Supposons, pour simplifier, qu'il y ait une seule équation de liaison
J dépendra des dérivées partielles de S, t^, C ; nous pourrons supposer, par exemple, qu*il dépend seulement des neuf dérivées du premier ordre, et que c'est une fonction linéaire de ces neuf dérivées.
L'équation d'équilibre du N° 31 s'écrivait :
(i) Jz (W, + Wj) dx +y(X8Ç + Y871 + Z8I:) dx
+/(Px5Ç + P^5ïi + ?M) d^ = o;
et dans le cas où les molécules étaient supposées libres, elle devait être satisfaite quels que soient les accroissements virtuels l\, 8yi, BÇ.
S'il y a une liaison, celte équation devra encore être satisfaite mais seulement quand les accroissements virtuels 8Ç, 8y|, 8Ç
60 LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLASTICITÉ
seront compatibles avec la liaison c'est-à-dire tels que:
On aura alors, quel que soit X :
(2) fz (W^ -f Wa + XJ) dr +f{XZl + Yoti + Z8Ç) dz
Les principes du calcul des variations nous apprennent alors que l'on peut trouver une fonction X de x, y, z telle que l'équation (2) soit satisfaite quels que soient les accroissements virtuels 8$, 87^, 8![ et quand même ils ne seraient pas compatibles avec la liaison.
J'ajoute que X dépend de a?, y, z^ mais non de l, tj, Ç, de telle façon que 8X est toujours nul.
L'équation (2) pourrait ensuite être transformée comme Téquation (i) Ta été dans h N*' 32. Dans ce N*' nous avons posé :
Nous poserons de même ici :
Des raisonnements tout pareils à ceux du N° 32 nous conduiraient alors aux mêmes équations d'équilibre :
A/ + Bm + Cn + Pa: = o
dk . dB , dC ^, , l^ + Ty + d-z^^^'^''
ÉQUATIONS d'équilibre. — PRESSIONS 61
11 suffit donc pour obtenir les nouvelles équations d'équilibre de remplacer dans les anciennes W^ -f" Wj par:
Nous avons alors une fonction inconnue de plus qui est X, mais en revanche nous avons une équation de plus qui est:
Il est alors aisé de comprendre que nous ne restreignons pas la généralité en supposant qu'il n'y a pas de liaison. En eiïet, si nous avons une équation de liaison
nous arrivons au même résultat en supprimant cette équation
et en remplaçant W^ -f- ^2 V^^ ^\ + ^^^2 + ^J^> ^ ^^^"^ un nombre très grand. Pour que Ténergie reste finie, il faut d'abord que J soit très petit, d'où Ton déduit :
D'autre part, il vient :
^^ d (W. + W, + hî» ) cl (W, + W,) ^ ^^j rfj
dx dx dx
00 en posant 2AJ ^ À :
d (W. + W, + XJ) dx
ce qui est l'équation trouvée plus haut. Le nombre h est très grand, J très petit et le proJuit 2AJ = X est fini.
62 LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLASTIGITÉ
Le cas particulier le plus intéressant est celui des corps incompressibles. Dans ce cas J = 6 (Cf. Théorie mathématique de la JÀtmière. Théorie de la double Rép^action de Fresnel^ page 230).
34. Les théories qui précèdent ont un inconvénient grave : elles reposent sur un certain nombre d'hypothèses moléculaires qui peuvent être i évoquées en doute. Il n'en est pas de même des théories fondées sur la thermodynamique, e( qui d'ailleurs conduisent aux mêmes équations.
Supposons Téquilibre atteint et considérons une déformation virtuelle quelconque, telle que les composantes ^, t|, K, du déplacement subissent des accroissements virtuels SS, St|, SC D'après le principe de la conservation de Ténergie, Taccroissement 813 de Ténergie interne sera égal au travail SY des forces extérieures, plus la chaleur 80 empruntée au dehors, multipliée par l'équivalent mécanique de la chaleur. J^écris :
Nous avons évidemment:
8V =J(X8Ç + Y87i + Z8i:) d-z -\'J[Wl\ + P^^ti + P,8Ç)^a>
Soient, d'autre part, S l'entropie, T la température absolue. La déformation doit être réversible ; car nous supposons que la limite d'élasticité n'est pas dépassée ; on a donc :
D'autre part, T doit être supposé constant et 8T = o ; sans cela, les déformations dues à l'élasticité se trouveraient compliquées de celles qui sont produites par la dilatation
ÉQUATIONS d'Équilibre. — pressions 63
thermométrique. On en conclut:
8Q = S (ST) et
8V-f 8 (EST — U)=o.
Cherchons l'expression de EST — U. C'est ce que M. Duhem appelle le potentiel thermodynamique.
Ce potentiel dépend évidemment des déformations subies par le corps. Mais l'expérience nous apprend que deux petites portions du corps situées à une distance finie Tune de Tautre (c'est-à-dire plus grande que ce que l'on est convenu d'appeler le rayon d'activité moléculaire) ne peuvent avoir l'une sur Tautre aucune action.
En raisonnant comme nous l'avons fait plus haut, on peut décomposer le corps en un très grand nombre d'éléments de volume très petits que nous appellerons dx, et écrire:
EST— U=yW(fT,
W étant une fonction dépendant seulement de la déformation subie par le petit volume dx.
Décomposons à son tour l'élément dx en volumes encore plus petits. Soit R le carré de la distance de deux de ces volumes dans l'état d'équilibre naturel, R -{- p ce que devient ce carré dans l'état d'équilibre contraint. Il est clair que W doit ôtre une fonction des p, et comme ces quantités sont 1res petites, il est naturel de supposer que W est développable suivant les puissances des p; nous négligerons d'ailleurs,comme nous l'avons fait jusqu'ici, les cubes de ces quantités. On reconnaîtrait alors par un raisonnement tout semblable à
64 LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÊLASTIGITÉ
celui des numéros précédenls et en faisant attention que les dimensions de l'élément cIt sont très petites, que:
W^ et W2 étant deux polynômes homogènes, le premier linéaire, le second quadratique par rapport aux neuf dérivées partielles de ;, tj, î par rapport à a?, y et ^, et de la forme indiquée plus haut.
Nous retrouvons alors (en remplaçant 8V et EST — U par leurs valeurs) Téquation duN° 31.
A (W^ + Wjj) dx +y (X85 -j- YBt) 4- ZSÇ) dx
+f{^x^l + PySTi + FM) dio = G.
Ces raisonnements, qui ne 8*appuient que sur les principes fondamentaux de la thermodynamique, conduisent donc aux mêmes équations d'équilibre que les hypothèses moléculaires ordinairement admises. La concordance des résultats expérimentaux avec ces équations ne peut donc être invoquée comme une preuve de la légitimité de ces hypothèses.
35. Pressions. — Nous avons supposé les intégrations étendues au corps tout entier; ce fait ne joue aucun rôle dans les démonstrations ; nous aurions trouvé les mêmes équations en considérant une portion seulement du corps élastique. Soit S la surface fermée qui limite cette portion ; si nous supprimons toutes les molécules extérieures à 13 et que nous appliquions à tous les éléments de S des forces
Pa;rfcO, Pyt/Cl), P-CI?U),
ÉQUATIONS d'équilibre. — PRESSIONS 65
l'équilibre ne sera pas troublé si nous supposons Pj;, Py, P. déterminés par les équations :
M -f- B?n + Cn + P;^ zz: o A7 4- B'w 4- C'/î + Py = o A"/ + B"w + G'n + P, = o
l, m, n désignant maintenant les cosinus directeurs de la normale à l'élément cUù de S. Les quantités P^r, Py, Pz définies ainsi sont dites composantes de la pression par unité de surface.
Nous allons les étudier d'abord dans l'état d'équilibre naturel.
Cherchons en premier lieu les pressions sur les éléments perpendiculaires aux axes de coordonnées ; si on suppose dtù perpendiculaire à ox^ on a :
l = i m = () n = et par suite :
Px=-A.
— A est donc la composante normale de la pression qui s'exerce sur un élément perpendiculaire à oa?, — A' et — A" en sont les composantes tangenticllcs. Nous connaissons maintenant l'interprétation physique des neuf quantités
A, C^; nous allons indiquer des relations importantes
qu'elles vérifient dans certains cas.
Nous avons posé :
iLASTiaTÉ.
&6 LEÇONS SUR lA THÉORIE DE l'ÉLASTICITÉ
nous écrirons :
dx dx
A ^— Al —j" Aj*
Les A4 sont des constantes, les A, sont homogènes et du premier degré par rapport aux neuf dérivées.
W| ne dépend que des a et p, il en résulte :
^û?$~ rfp3 '^£"" ^P3 G?y dy
£/W^rfW^ c/p3 çW4
car P3 = -T^ -}~ 3^ 6^ l^s autres a et p ne dépendent pas de ces deux dérivées. On a donc les relations :
Aï = 8, AÎ=C4 BÎ = C;,
c'est-à-dire que le déterminant des A forme un tableau symétrique.
Pour qu'il en soit de même du déterminant des Aj, il faut que Wj ne dépende que des a et p, c'est-à-dire que les polynômes Wxx'i disparaissent dans son expression, ce qui
exige que les forces extérieures soient nulles dans l'état d'équilibre naturel. Nous ne faisons pas en général cette hypothèse ; le déterminant des Aj, et par suite celui des A, n'est donc pas en général symétrique.
Mais il l'est toujours dans l'état d'équilibre naturel, car les
ÉQUATIONS d'équilibre. — PRESSIONS 67
neuf dérivées partielles sont alors nulles ; il en est de môme des Âj, qui sont des fonctions linéaires et homogènes de ces neuf dérivées, et les A se réduisent aux A^. On a donc dans Tétat d'équilibre naturel :
36. Démonstrations élémentaires. — On peut démontrer facilement ces égalités en cherchant les conditions (]*équilibre d*un parallélipipède inRniment petit, ayant ses arêtes parallèles aux axes.
Ecrivons que la somme des moments de toutes les forces par rapport h un axe parallèle à oz et passant par le centre du parallélipipède est nulle, en ne conservant que les termes du troisième ordre. Le bras de levier sera infiniment petit du premier ordre au moins ; nous devons donc négliger les forces du troisième ordre, par exemple la force Xrfr, Yc?t, Zdx.
Parmi les pressions qui sont du second ordre, il n'y a pas à tenir compte de cefles qui rencontrent oz ou lui sont parallèles; en les éliminant, il ne reste que les composantes parallèles à oy sur les faces perpendiculaires k oœ et les composantes parallèles à ox sur les faces perpendiculaires à oy. On a ainsi deux couples; en écrivant qu'ils se font équilibre, on obtient :
et on aurait de môme les autres égalités.
Nous emploierons désormais les notations de Lamé ; c'està-dire nous posons :
A = — N, B' = — Na G" r= — N3 B" = C = — T, A'^ = G — — Ta A' = B = - T,
et les équations d'équilibre s'écrivent:
/ P, = m, + mT,-\-nT,
( P, = rr^ + mT, + nN3
dx dy ^ dz ^
x^ dx ' «2/ «'3' '
l, niy n sont les cosinus directeurs de la normale extérieure, de sorte que, lorsque les quantités N^, Nj, Nj sont positives, ce sont non des pressions, mais des tensions.
On peut démontrer ces équations d'une manière élémentaire.
Considérons d'abord un tétraèdre oABC, dont les arêtes oA, oB, oC sont parallèles aux axes; soient dta la surface de ABC, et l^ m, n les cosinus directeurs de la normale extérieure ; les surfaces de oBC, oCA, oAB sont Id^a^ mdtù^ ndiù\ en écrivant que la somme des projections des forces appliquées au tétraèdre est nulle, et en négligeant la force extérieure qui est de Tordre du volume, c'est-à-dire du troisième ordre, on a :
c'est-à-dire :
P^==N^Z-fT3W + V.
Pour le second groupe d'équations, considérons unparallélipipède,et écrivons que la somme algébrique des projections des forces sur oœ est nulle. Pour l'une des faces perpendicu-
ÉQUATIONS d'équilibre. — PRESSIONS 69
laires à ox, on a — N^dydz et sur l'autre
+ (n, + ^ da=)dydz,
car les forces sont appliquées aux centres de gravité des faces. On obtient ainsi :
Xdz + -T-* dx.dydz -{- -j^ dy.dzdx +--t^ dz.dxdy = o;
et puisque dt = dxdydz on a précisément Téquation qu'il s'agit de démontrer.
Cherchons les expressions des N et des T.
W| est homogène et du premier degré par rapport aux a et aux p, et Ton a :
Donc :
Or:
^<^^=2rfRP*-
Si Ton se rappelle l'expression de p, en fonction des a et des p, on voit que le coefficient de «i est
et celui de p^
»sl %■>-
Nous avons donc :
87. Ellipsoïde des pressions. — Soit M un point de coordonnées a:, y, z\ M' un point voisin x -j- dx, y + ^y^ z + dz. Posons :
e étant une constante quelconque. Le point M' sera sur un ellipsoïde que Ton appelle ellipsoïde des pressions relatif au point M.
Les composantes de la pression par unité de surface sur un élément plan dont la normale a pour cosinus directeurs a, p, Y, sont :
Sa direction est le diamètre conjugué du plan par rapport à rellipsoïdc des pressions. Cet ellipsoïde a donc une signification physique, il est par suite indépendant du choix des axes.
Dans le cas particulier où le corps est homogène et isotrope et les forces extérieures nulles dans l'état d'équilibre naturel, on peut donner à son équation une forme simple, sur laquelle cette dernière propriété est en évidence.
ÉQDATIONS d'équilibre. — PRESSIONS 71
On a alors :
N, = xa + 2,£
Soit MM' = dS ; après le déplacement, MM' devient
Le rapport — est infîniment petit du même ordre de grandeur que Ç, 7i, î ; nous négligerons son carré. Nous avons alors
d^idn = dxd!i -)- dydi\ -f- dzdX^ et Téquation de Tellipsoïde des pressions devient
t>=Xô(e/^«+rfy^ + ti^»)+2|. {^dx^^^dxdy^^^dxdz^
t>= X6cS> + 2p. {d^dx + di^dy + dX^dz) »« = XerfS» -f- 2|jLC«rfi
et sous cette forme, d'ailleurs utile et intéressante en ellemdme, on voit bien qu'il ne dépend pas du choix des axes.
88. Autres définitions de la pression. — On dit quelquefois pour définir la pression : soit une surface 2 intérieure au corps élastique ; supprimons la partie du corps extérieure
Ti LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLASTIGITÉ
à I] ; la pression sur un élément d(û de 2 est la force qu'il faut lui appliquer pour remplacer Taclion de la partie supprimée. Celte déGnition a un double défaut:
i^ Il n'est pas évident qu'il est possible de rétablir l'équilibre en appliquant à chaque élément duy de £ une force auxiliaire (car on ne considère pas des corps rigides comme en mécanique rationnelle). Il n'est surtout pas évident que, si l'on considère deux surfaces tangentes S et S', la déGnition donnera la même valeur pour la pression sur l'élément de contact efb), qu'on le suppose appartenir à 2 ou à S';
S*» En admettant qu'il soit possible de rétablir l'équilibre par ces forces, il faudrait encore prouver que cela n'est possible que d'une seule manière ; sans quoi, les pressions ne seraient pas déGnies.
89. Définitions de Nayier et de Lamé. — Considérons un élément de surface duy et deux molécules m^ et m^ situées de part et d'autre de cet élément, de telle façon que la droite qui les joint perce l'élément diû.
Navier appelle pression sur l'élément dta^ la résultante des actions de toutes les molécules telles que m^ sur toutes les molécules telles que m^, ces forces étant supposées transportées au centre de gravité de l'élément. L'élément appartenant à une surface fermée, on considère l'action des molécules extérieures sur les molécules intérieures.
Lamé procède un peu différemment; il prolonge le plan de rfo) et considère le cylindre droit ayant pour base efo) et situé d'un côté de ce plan. Soit m^ une molécule de ce cylindre; m^, une molécule située au-dessus du plan ; on composera toutes les actions telles que celle de m^ sur m^.
ÉQUATIONS d'équilibre. — PRESSIONS
On pourrait aussi considérer un cylindre droit indéfini, divisé en deux par ]*é]ément cUù, et composer les actions des molécules d'une moitié du cylindre sur celles de Tautre moitié.
Ainsi, sur la figure, j'ai représenté en ab l'élément e/a>, en œy le plan de cet élément prolongé, en clVcCV* le cylindre droit qui a cet élément pour base.
Le couple m^m^ figure dans les trois définitions, le couple afs dans celles de Navier et de Lamé, mais non dans la troi-
sième, le couple Y$ dans celle de Lamé, mais non dans celle de Navier, le couple eC dans celle de Navier, mais non dans celle de Lamé. J*ajoule d'ailleurs que, pour qu'un seul couple de molécules puisse figurer dans la troisième définition, il faut qu'il figure dans les deux autres.
Ces trois définitions sont en apparence très différentes; il est cependant aisé de voir qu'elles reviennent au même quand on suppose l'élément c^co très grand par rapport au rayon d'activité moléculaire.
Observons en effet que les distances m^m^, ap, yB, «C doivent être plus petites que ce rayon.
74 LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLASTIGITÉ
Or parmi les couples de molécules que Ton considère il y en a un très grand nombre comme m^m2 qui sont communs aux trois définitions. Les autres comme aB, yS, eC sont tels que la distance de chacune des molécules qui les composent au périmètre de dm est moindre que le rayon d'activité moléculaire ; leur nombre est donc très petit par rapport au nombre total, et par suite la valeur obtenue pour la pression est la même quelle que soit celle de ces défmitions qu'on adopte, puisque les termes qui figurent dans Tune et non dans l'autre sont toujours négligeables.
Nous allons calculer cette valeur en parlant de la troisième définition, et vérifier qu'elle est identique avec celle que nous avons trouvée en appliquant le principe des vitesses virtuelles.
Désignons par N{e/a>, T^t/u), T^duy ses composantes sur un élément dtù perpendiculaire à oa?. L'attraction de deux molécules m^ et m^ est avec les notations adoptées
dF c^dF r-
les cosinus directeurs de m^m^ sont
Dx Dy D^
On a donc :
ÉQUATIONS d'équilibre. — PRESSIONS 75
les sommations s'étendant aux couples de molécules spécifiés dans la définition ; c*est-à-dire que pour la troisième définition il faut prendre pour m^ toutes les molécules situées dans le cylindre droit de base e/a>, d*un côté de d(ù et pour m^ les molécules situées dans le même cylindre de Tautre côté de dto. Considérons la portion de ce cylindre renfermée entre deux sections droites très voisines, de distance ^, comprenant entre elles l'élément diû. Soient :
X =^ COq
X = Xq -{- h les équations de ces sections droites ;
Téquation du plan dià> ; et enfin a? et ^r -j- D^ les abscisses de m| et mj ; on a :
(a) X <, X <C X -{- Dx
Nous pouvons donc poser :
la sommation étant étendue à tous les couples de molécules comprises à l'intérieur de l'élément de volume dx = Arfw ; mais s étant égal à un lorsque les inégalités (a) sont vérifiées, et à zéro dans le cas contraire. Multiplions par dx' et intégrons de x^kx^ -}- h ; il viendra
ft + A
LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLÂSTIGITÉ
Nous supposerons dt assez petit pour qu*à Tintérieur de cet élément le corps puisse être considéré comme homogène. N| est alors une constante, et on a
^idiDdœ' = ^idiûfdx' = Nihdiù = Nfrfr.
On a ensuite :
t/x» ^y JE
+ Dx
dF ^ . , dF ^ ^
car e est nul lorsque a?' n'est pas compris entre a? et a? -f- Do?
et égal à un dans le cas contraire.
On suppose, bien entendu, que m^ et masont toutes deux à
l'intérieur de l'élément dr ; mais les couples de molécules
comme mlm^^ m'^m^ pour lesquels cette condition n'est pas
réalisée sont beaucoup moins nombreux que les autres et par suite négligeables. On a donc :
NirfT=-2V§^Da?^ = N,rfT
Donc :
ce qui est bien l'égalité que nous
avions en vue.
Sur la figure aîVol'h" représente
notre cylindre indéfmi, ab une section droite quelconque rfu), ctf et ef les deux bases du cylindre limité d-z.
ÉQUATIONS d'équilibre. — PRESSIONS 77
Le couple m^m2 fîgure dans la défînilion de N j et dans celle de Nf ; les couples m{mi et m'm^ ne figurent pas dans la définition de N^ ; mais ils figurent dans celle de N j quand on suppose que la section droite d<a vient en a^b^ (ou en a2b^\ de manière à couper les droites m^»») (ou mlm^) ; cela ne peut avoir lieu que si la distance de la section droite dm à Tune des bases est plus petite que le rayon d'activité et par conséquent très petite par rapport ù la hauteur.
40. Pressions dans l'équilibre contraint. — Nous avons vu qu'on n'a pas en général (lorsque Wj renferme les polynômes II) les égalités
Il semblerait donc que la projection sur Taxe des y de la pression qui s'exerce sur un élément perpendiculaire à ox n'est pas égale à la projection sur ox de la pression qui s'exerce sur un élément perpendiculaire à oy.
Gela paraît assez invraisemblable, car cette égalité a lieu dans l'état d'équilibre naturel que nous avons choisi arbitrairement et que rien ne distingue des états d'équilibre que nous appelons contraints. D'autre part, nous en avons donné une démonstration élémentaire, d'ailleurs classique, qui s'applique à tous les cas.
Il est aisé d'expliquer cette apparence de paradoxe. 11 n'est pas vrai que — Aflfco, — A'rfo>, — A"<i<i> soient les projections sur les axes de la pression sur un élément, d'aire do), perpcnliculaire h ox\ ce sont les composantes de la pression qui s'exerce sur un élément qui avant la déformation avait pour aire diù et était perpendiculaire à ox.
La déformation change Taire et la direction de cet élément. Supposons que ce soit un rectangle dydz de côtés parallèles aux axes. Les projections des côtés qui étaient
o, dy, o, 0, dz deviennent
^ ri.
dz"^'^
dy\ dz
dzy
et les projections sur les plans de coordonnées de Taire du parallélogramme formé par ces deuxdroit es sont, d*après une formule connue,
dy dy
dX, rfÇ
dy dy
dydz,
dz ^ ^^ dz
. , c^ d^ '^ dz dz
dydz.
dy ^ dy
d^ c?3 dz dz
dydz,
c'est-à-dire, en négligeant les carrés des dérivées (sur le plan),
des yz
des zx
des xy
dy
Il est donc facile d'exprimer A, A', A'^ en fonction des pressions qui sVxercent sur les éléments perpendiculaires aux axes, et que nous continuerons à désigner par N et par T (les
ÉQUATIONS d'équilibre. — PRESSIONS 79
pressions tangeotielles étant égales deux à deux diaprés la démonstralion élémentaire qui a été donnée). Nous aurons :
On voit bien que l*on n'a pas A' = B.
On pourrait vériûer ces relations en calculant directement A, A'... d'une part, les N et les T d'autre part. Dans l'état d'équilibre naturel on avait :
Pour appliquer cette formule dans l'état d'équilibre contraint, îl faut y remplacer a?, y, z par a? -f- Ç, y + *^» -2- -{- ?•
c?T devient alors dk (1 "h ^) î "yô est une fonction de R, R' qui
rfF deviennent R + p, R' + p'*- î ^^ ^^^^ àonc remplacer — par
rfR
^ + 8 ^, en posant :
rfF rf^ yi ^^F ,
et négligeant les carrés des p, p'.
On a ainsi :
- ^Sd + » f ) c» + w)-
« ~" rfT (1 + 0)
De même :
La symétrie de l'expression de Tj par rapport à a? et y montre bien que les composantes tangenticUes sont égales deux à deux.
En effectuant les calculs et négligeant les carrés des déri-
vées -r ... on obtient N. et T. en fonction linéaire des dériva? * '
vées. Par exemple :
On pourrait calculer aussi A et A'
d — dx
On peut ainsi vérifier directement les relations que nous avons écrites ; mais cette méthode exige d*assez longs calculs.
41. Lamé et Glebsch ont toujours supposé les forces extérieures nulles dans l'état d*équilibre naturel. Nous ne nous sommes pas borné à ce cas, et cela pour plusieurs raisons.
ÉQUATIONS d'équilibre. — PRESSIONS 81
D'abord, il y a en optique des théories de la double réfraclion, celles de Gauchy et de Fresnel par exemple, où Ton suppose que dans Tclat d'équilibre naturel, c'est-à-dire en l'absence de tout mouvement lumineux, l'éther est soumis à une pression (Cf. Théorie Malhétnatique de la Lumière^ page 239).
Ensuite, pour l'élude des gaz, on ne peut pas supposer la pression dans l'état d'équilibre naturel nulle, car on sait que le gaz tendrait à occuper un volume infini.
Une dernière raison est la suivante : la fonction W, représente l'énergie potentielle interne du corps élastique; en
optique, c'est celle de Téther; dans la théorie électromagné-
lique de la lumière, c'est t- (a' +• P* + y') (C^- ^'électricité et
Optique^ tome II, page 67], x,^,y étant les composantes de
la force magnétique. Ceci, traduit en langage optique, fait
correspondre à a' -|- ^^ -f- y* une expression de la forme
consl. X [p^ +7^ + ''^l, />>^>^ étant les composantes de la
rotation movenne.
Si donc on veut Ctmserver l'espoir de rattacher la théorie électromagnétique de la lumière à l'élasticité de l'éther, il faut que Wj puisse prendre la forme (p' -f" (7* "h ^^) X const., ce qui est impossible en supposant les forces extérieures nulles dans l'état d'équilibre naturel, car alors W^ ne dépend plus que des a et des p.
Néanmoins, dans l'étude des solides, qui est un des buts principaux de la tbéorie de l'élasticité, on a le droit de supposer la pression dans l'élat d'équilibre naturel nulle.
Il y a bien, cependant, la pression atmosphérique, mais elle est très petite et négligeable par rapport aux actions à exercer sur le solide pour obtenir des déformations sensibles.
83 LEÇONS SUR LA THÉORIR DE l'ÉLASTICITÉ
Nous aurons donc dans les solides une expression de W, ne renfermant que les a et les p ; il en résulte
De plus, les pressions dans l'équilibre contraint seront par suite très petites, du même ordre de grandeur que les a et p. En négligeant les quantités d'ordre supérieur, on aura :
Désormais, par conséquent, nous nous bornerons au cas de V = o, et nous supposerons de plus le corps isotrope.
