H = a? + ai + a§ + ^' + PJ

52 LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLASTIGITÉ

et ces trois |K)lyn6mes étant linéairement indépendants, W, en sera une combinaison linéaire, que nous écrirons, en adoptant les notations de Lamé :

30. Nous avons trouvé plus haut que W^ est la somme de trois groupes de termes, le premier disparaissant lorsque les forces extérieures sont nulles dans l'état d*équilibre naturel, et le troisième lorsque les forces intérieures sont centrales. Le premier groupe est une combinaison linéaire des polynômes n et l'ensemble des deux autres un polynôme homogène et du second degré par rapport aux a et aux p renfermant vingt et un coefficients arbitraires.

Il est aisé de voir que Wj ne peut se mettre sous cette forme que d'une seule manière, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de relation linéaire entre les polynômes n d'une part et les carrés et produits deux à deux des a et des p d*autre part. En effet, cette relation renfermerait nécessairement les H, car les carrés et produits deux à deux des a et ^ sont indépendants; si nous annulons les a et les p, il en résultera une relation entre les H. Pour annuler les a et p, supposons par exemple que le corps subisse un«3 rotation infiniment petite, à la façon d'un solide invariable, c'est-à-dire posons

(Il (h\ d^

dœ di/ dz

dy dz

dz dx ^

^ = — -î^ = r dx dy

noDS trouverons

n^, = g« + r^ ny= = - qr

et de» valeurs analogues pour les autres polynômes II ; on voit bien qu'ils sont indépendants.

Or, dans l'expression donnée pour W^, dans le casdes corps isotropes, 6 et H ne dépendent que des a et des p; donc le terme

correspond au premier groupe des termes de W, tel que nous l'avions défini ; et l'ensemble des termes

correspond aux deux autres groupes.

Nous avons vu que le coefficient de CL^ dans W,rfT est

et que le coefficient de Ujcx dans Wj/Zt est

ItdR ^^ '

D'autre part, dans le cas des corps isotropes, on a posé :

W| = yO = Y (a, 4- xj + aa) Wa = v(n;,;,+ ... ) + ...

On a donc :

54 LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLASTIGITÉ

Dans le cas où les forces extérieures sont nulles dans rétat d'équilibre naturel, on a :

Y = o et par suite : v = o

C'est le cas particulier qu*ont considéré Lamé et Ciebsch ; nons n'avons pas cru devoir nous y restreindre.

Dans le cas des forces centrales, nous avons trouvé les relations des deux types

GoefT. de p^ = coelT. de âajaj Goeir. de Sp^p^ = coeff. de Sajpj

Les relations du second type sont satisfaites d'elles-mêmes, car les deux coefficients sont nuls ; celles du premier deviennent :

jx X

ou :

Dans le cas des corps isotropes, il y a donc, en général, trois coefficients arbitraires, qui se réduisent à deux ou à un seul dans les cas où les 27 coefficients du cas général se réduiraient à 21 ou à 15 (*).

{^) Pour plus de détails sur les queslions traitées dans ce chapitre,je renverrai à ma Théorie mathématique de ta Lumière , pages 1 à 32.