OU

^, 7), s[ sont les projections du déplacement d*une molécule sur les axes de coordonnées; li -{- my\ + nÇ est la projection de ce déplacement sur la normale à la surface (le sens positif étant celui de la normale extérieure); nous le désignerons par V (il ne peut pas y avoir de confusion avec le sens tout différent dans lequel cette lettre a été employée). On a alors

1^4- ff? 4 ^ — £[l dx """ dœ ' dx dx

on spécifiant bien que pour prendre la dérivée — on considère /, w, n comme des constantes, c'est-à-dire la normale comme un axe fîxe, lorsqu'on passe à un point voisin (qui n'est d'ailleurs pas sur la surface) de coordonnées a? -|- cte,

En désignant par -pz la dérivée d'une fonction estimée suivant la normale, on a d'ailleurs

ÉTUDE DE QUELQUES CAS PARTICULIERS d'ÉQUILIBRE 85

Les équations à la surface prennent alors la forme simple

! '"= = »» + Ks + â

On peut en déduire la formule

qui se rapproche par sa forme des équations que nous allons obtenir pour l'équilibre inlérieur.

Nous avions :

dx ^ dt/ '^ dz "^ cTTa I dS.^ j ^4 1 Y —

Or :

cfcr û?ir ' ^ c/^;^ dx"^ ^ dx dx ' ' c/a?^

^y "~ ^y ^ V^y ^/ ^ dx dy'^ ^ dy^

rf^ '~ dz^Kdx'^ dz) ~ ^ efo? ^^ "^ ^ r/^^

Donc :

dx^ dy'^ dz~~ dx'^^dx ^ ^ "^ ^\dx^'^ dy^'^ dz^J

86 LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLASTIGITÉ

Les équations de l'équilibre intérieur deviennent par suite :

(II) ^ (X+^L)g+(*A7) = -Y

(^ + :*) ^ + !*aî: = - z

Ce sont trois équations aux dérivées partielles du second ordre qui, avec les conditions aux limites exprimées par les équations à la surface (I), doivent déterminer complètement ly Yj, ^. Mais rintégration générale de ces équations présente des difficultés insurmontables. On peut seulement traiter quelques cas particulièrement simples.

44. Cas d'un milieu indéfini. — Supposons que le milieu élastique soit indéfini et que X, Y, Z s'annulent à Tinfini ; ;, Tj, î s'annulent aussi à Tinfini et les conditions aux limites disparaissent.

Il suffit alors de trouver pour le système (II) des intégrales Ç, 7|, Ç s'annulant à l'infini.

Pour cela difl'érenciuns la première des équations (II) par rapport à x, la seconde par rapport à y, la troisième par rapport à Zy et ajoutons.

Il vient :

\dœ "^ ^y + dz)

ÉTUDE DE QUELQUES CAS PARTICULIERS d'ÉQUILIBRB 87

^ satisfait d'ailleurs aux conditions de Dirichlet.

C'est donc le potentiel d'une matière attirante dont la densité serait

47C (X + 2îjl) V^ ' dy

'^ dy'^'dz)

•car ce potentiel satisfait à Téquation de Poisson

A6 := — 47rp.

Connaissant 9, on a

et on obtient \ de la même manière.

Cette solution suppose essentiellement

fJL ^ o

Pour les corps solides X et [a étant positifs , ces conditions «ont satisfaites d'elles-mêmes : Thypothèse (x = o correspond aux fluides parfaits ; les équations prennent alors une forme plus simple et toute IdifTérente et leur étude ne fait pas partie de l'objet de ce cours.

L'bypo thèse

X -j- 2[x = o est plus intéressante ; c'est en eflet celle que Fresnel a faite

implicitement sur Téther lumineux en admettant qu'il est incapable de transmettre les vibrations longitudinales. La combinaison considérée des trois équations se réduit alors à

//X , dY , dZ

dx ^ dy ' dz

Il faut supposer que les forces vérifient cette relation; sans quoi Téquilibre est impossible. Lorsque cette condition est remplie, les trois équations se réduisent à deux; on peut prendre ô arbitrairement et on déduit des trois équation» les valeurs correspondantes de $, tj, Ç.

On peut donc toujours trouver des fonctions satisfaisant aux équations de Télasticité à l'intérieur du corps élastique ; mais elles ne vérifient pas, en général, les équations à la surface.

45. On peut se servir de ce résultat pour simplifier, au moins en apparence, le problème général de l'élasticité; mais la solution en reste également difficile.

Nous allons montrer qu'on peut, sans altérer en rien la généralité, supposer ou bien que X, Y, Z sont nuls, ou bien que Px, Py, Pz sont nuls. En d'autres termes, on peut ramener le problème général soit au cas où les forces superficielles existent seules, soit au cas où elles n'existent pas.

Montrons d'abord que Ton peut toujours supposer X, Y, Z nuls.

Pour cela posons

ÉTUDE DE QUELQUES CAS PARTICULIERS d'ÉQUILIBRE 81)

et d*une manière générale, F élant une fonction linéaire quelconque de If 7), C ou de leurs dérivées

F' ou F^ élant ce que devient F quand on y remplace 5, t„ Ç par 5,Tri,i;ou$,Tri,(;.

Les équations deviennent alors

et:

(N{ + Nî) / + (Ti + TJ) m -f- (Ti -f- Tï) n = P,

Nous savons trouver des fonctions T, V» ï'' satisfaisant aux équations :

1 (X + K^) Ij -t- (.AC" = - Z

Si alors nous posons :

( P; = Pj, — NJ/ — T5m — T;w

p; = Py — t;/ — N5m — Tin

p.' = P- — T.^/ — TJm — NJn

90 LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLASTIGITÉ

Les équations deviendront :

T^/+ Nim+T;n=P; Til + T;w-t-N> = PI

C'est-à-dire que Ç', t;', C sont les déformations que subirait le corps considéré s'il était soumis seulement à des forces superficielles égales à Pi, Py, P/, c'est-à-dire à des fonctions parfaitement déterminées de o?, y, ^. Nous aurons ensuite :

S = ;+; Yi^Ti-fTi î = c + C

On peut de même ramener le problème au cas où les forces superficielles sont nulles ; la marche est la môme. Donnons-nous trois fonctions l'\ yj", C assujetties à satisfaire aux équations :

— TJn —

Py - T^/ -

NÎ77i

— T'iti --

Pz TJ^

Tîw

— NJn

qui doivent être vérifiées seulement à la surface du corps. On peut se donner arbitrairement les fonctions V'» 'n'^» V" sur la surface ; leurs dérivées sur la surface et suivant des direc-

ÉTUDE DE QUELQUES CAS PARTICULIERS d'ÉQUILIBRE 91

lions tangentieUes sont alors déterminées et ces équations font connaître leurs dérivées suivant la normale.

On connaît alors en tous les points de la surface les trois fonctions l", V, C" et leur neuf dérivées premières ; ces conditions ne suffisent évidemment pas pour déterminer ces trois fonctions pour les points intérieurs du corps, mais on peut y satisfaire d'une infinité de manières. Soient donc T, V» ^'^ un quelconque des systèmes de trois fonctions qui y satisfont.

Si nous raisonnons comme dans le cas précédent, nous verrons que Ç', tj', C' sont les déformations dues à des forces intérieures données X', Y', Z', les forces superficielles Pi, Py, P/ étant nulles.

46. Equilibre d'un parallélipipède dans un cas simple. — Considérons un parallélipipède rectangle et supposons-le soumis uniquement à des forces superficielles. Nous admettrons de plus que sur chaque face la pression esl constante en grandeur et en direction et que les pressions sur des faces opposées sont égales, parallèles et de sens contraires.

Supposons les axes parallèles aux arêtes du parallélipipède et désignons d'une manière générale par P„^rf(Dla projection sur un axe ou de la pression qui s'exerce sur un élément dia perpendiculaire à un axe ov.

On ne troublera pas l'équilibre en introduisant des liaisons nouvelles; of si on suppose que le parallélipipède devienne un solide invariable, on voit facilement que, pour qu il soit en équilibre dans sa position actuelle, il faut que Ton ait :

92 LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLASTICITÉ

Puisqu'il n*y a pas de forces extérieures non superficielles, les équations d'équilibre sont :

dx ' dy ' dz

dTj rfN, rfT, dx ^ dy ^^ dz

dx ^ dy ^ dz

de plus N| pur exemple est constant en tous les points des faces perpendiculaires à ox.

On vérifie ces équations en prenant des constantes pour No Nj, N3, T,, Tj, Tj. Ces constantes sont d'ailleurs égales aux composantes des pressions données :

Pour calculer les a et les p, on a d'abord :

N< = Xe + 2txa, T, = |xp,

N/-XQ . T.-

On a ainsi les x et les p par des formules toujours acceptables, car pour les solides X et [a sont essentiellement positifs.

Connaissant les a et les p, on peut calculer les dérivées des ;, 7|, ^ ; il y a indétermination puisque l'on a 6 équations pour déterminer 9 dérivées ; de plus, lorsqu'on connaît les dérivées, il entre encore une constante arbitraire dans l'exprès-