ÉTUDE DE QUELQUES CAS PARTICULIERS D'ÉQUILIBRE

sion de chacune des quantités l, i^, (. puisque "jr ;7" j" sont des constante^?.

C(â7 uU CCZ

Il y a en tout 6 constantes ; mais, d'après ce que l'on a vu, si les a et les p sont déterminés, ces diverses solutions correspondent à une même déformation, suivie d*un déplacement quelconque.

D'une manière générale, si on avait un corps soumis à une pression normale constante P, on satisfera aux équations en prenant

N, = N, = N3 = P T, = Ta = T3 = o

47. Sphère. — Considérons une sphère à l'intérieur de laquelle se trouve une cavité limitée par une sphère concentrique. Supposons que les forces se réduisent à une pression normale et constante — P^ sur la surface extérieure et une pression normale et constante — Pq sur lu surface intérieure (Pq et p4 sont positifs, car nous considérons les tensions comme positives ot les pressions comme négatives).

Soient: le centre des sphères, M un point du corps solide, OM = r. On a éviJemment:

Ç =r œ^ (r) vi = y^ (r)

car le d-Splacement a lieu dms la direction du rayon, par

94 LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLASTIGITÉ

raison de symétrie. On en conclut :

Idœ -j- fidy + W-3r = ^ (r). rdr == d^ (r).

Cherchons à déterminer la fonction cp (r) ; on aura

ô = Acp.

L*équation

devient

dx et puisque X -f- â(x n'est pas nul, on a :

d rf rf

Donc :

D*autre part cp n'est fonction que de r; on a donc :

Cr> , a

cp n'intervenant que par ses dérivées, il est inutile d'ajouter une constante arbitraire.

Il reste à déterminer a et G ; pour cela il faut se servir des conditions données à la surface. Soient r^ le rayon de la sphère intérieure, r^ celui de la sphère extérieure; considérons les points

Mo ^ = n» y z=z z =z o

ÉTUDE DE QUELQUES CAS PARTICULIERS d'ÉQUILIBRE 95

et écrivons que les pressions en ces points sont respectivement Pq et P|. Les pressions sont égales à N^ puisque les éléments pressés sont normaux à oœ et que la pression est normale. Or on a :

= XA<p + 2|i ;t;|

dx*

En faisant x =z r ^^ r^, puis a? = r = r^ on a :

On tire de ces équations les valeurs de a et G. Le problème est donc complètement résolu.