KK KK
donc la vitesse du point E' est —p^^ et par suite: 0'F'= "^T^'
Le vecteur O'F' jouit bien de toutes les propriétés de CF.
L'analogie entre les deux problèmes est donc complète :
OD, O'D' représentent les rotations des deux trièdres. OË, O'E' s'en déduisent en multipliant les projections de OD et O'D' par des facteurs constants différents pour les trois axes qui sont A, B, G dans le cas du solide et les facteurs de proportionnalité des moments pour Télastique.
GP et G'P' sont des quantités constantes en grandeur et direction ; OP et O'F' désignent les vitesses de E et E', sont perpendiculaires aux plans OGP et O'G'P' et proportionnels à sin G et sin G'.
79* La solution du problème relatif au corps donne les cosinus directeurs de OA, OB, OC ou de O'A', O'B', O'C', en fonction du temps t ou de Tare s. Il nous faudrait les coordonnées du point N en fonction de s. Connaissant -3-' -*» -r '^ as as as
en fonction de « il est évident qu'il suffira de faire des quadratures pour obtenir a?, y, z en fonction de s.
Il n'est pas même nécessaire d'en faire trois, car, en écrivant que la portion GDAB de la verge est en équilibre, les forces agissant sur AB étant données, on aura deux relations finies entre œ, y, z. Une seule quadrature suffira donc.
Le problème du mouvement d'un solide pesant autour d'un
PROBLÈME DE L'ÉLASTIQUE â07
point fixe n^est pas résolu dans toute sa généralité, mais il Test dans quelques cas particuliers.
Le plus simple est celui du mouvement pendulaire.
Le solide, abandonné sans vitesse initiale, a Tun de ses plans principaux d'inertie vertical et contenant le point fîxe. On a dans ce cas un mouvement plan ; le problème correspondant est celui de la courbe élastique plane qui s'obtient en supposant A'B' soumise à une force unique, située dans un des plans de symétrie primitifs de la verge.
La courbe élastique plane jouit de la propriété caractéristique suivante signalée par Halphen.
Soient AF la force appliquée à Textrémilé A, N un point de la courbe. Le plan NAP est un plan principal d'inertie de la verge, la perpendiculaire à ce plan en N est Tun des axes d'inertie de la section droite correspondante. / / i'-' \^
Le théorème du moment fléchissant montre donc que la courbure en N est proportionnelle au moment de AF par rapport au point N, c'est-à-dire à AP X NQ.
Donc la courbure en N est proportionnelle à NQ et, si Ton prend AF pour axe des a?, la courbe est telle que le produit du rayon de courbure par l'ordonnée soit constant.
La solution du problème de la courbe élastique plane dépend des fonctions elliptiques.
Dans le mouvement à la Poinsot, c'est-à-dire si GP est nul, on peut encore résoudre le problème du corps solide par les fonctions elliptiques. A ce cas correspond celui où G'P' est nul,
208 LEÇONS SUR lA THÉORIE DE l'ÉLASTIGITÉ
ce qui arrive quand AB est encastrée et A'B' soumise seulement à un couple.
Le cas, considéré par Lagrange et Jacobi, d'un corps pesant de révolution suspendu par un point de son axe, correspond à celui d*une verge dans laquelle les deux moments dlnertie principaux de la section droite sont égaux. Quelles que soient alors les forces appliquées aux extrémités, les fonctions elliptiques suffisent pour la solution.
EnGn il est évident qu'au cas singulier signalé par M"** de Kowalewski (rellipsoïde d'inertie relatif au point Qxe est de révolution, le moment d'inertie correspondant à l'axe est moitié des deux autres et le centre de gravité est dans le plan principal d'inertie relatif au point Viyie et perpendiculaire à l'axe de révolution) répond encore une particularisation des données qui rend le problème de l'élastique résoluble par les fonctions abéliennes.
