Nous allons retrouver tous ces éléments dans la théorie
de l'élastique.
Considérons la courbe NN| et le trièdre précédemnaent défmi NaSe et supposons que le point N décrive la courbe] avec une vitesse égale à l'unité. En dénotant par s l'arc de la courbe compté à partir d'un point fixe on aura : s = t. Le trièdre NaBe se déplace avec le point N ; pour étudier son mouvement nous menons par un point Vixe 0' des parallèles à ses arêtes O'A', O'B', O'C Le trièdre O'A'B C tourne autour du point 0', je dis que son mouvement est le même que celui du trièdre OABG autour du point 0.
Soit en eiïet à un instant quelconque O'D' la rotation.
Cherchons ses composantes. Pour trouver la composante
PROBLÈME DE L'ÉLASTIQUE 203
suivant Na, considérons sur Télastique un point N| voisin dé N, soit NN| = (f5= di et N^a^S^e^ le trièdre Na8e transporté en N^ Projetons B^Nie^ sur le plan 8Nt, soit SaNjCj la projection, Tangle M^ sera encore droit aux infiniment petits près du second ordre d'après ce qu'on a vu plus haut. La rotation nécessaire pour amener SNe à être parallèle à S^^a^a est
angle de N8 avec N^So Nô, N-S,
:;: *-* ou encore r-*~^'
dt ds
C'est ce que nous avons appelé la torsion.
Cherchons la composante suivant N8, pour cela nous opérerons de même, c'est-à-dire nous projetterons a4N4e^ sur le plan aNe, on obtiendra aussi a^N^e^ égalàaNeaux infiniment petits du premier ordre près. Pour passer de aNe à ajNjSj il faudra tourner d'un certain angle, angle de N^a, avec Na, qui est l'angle de contingence de la projection de l'élastique sur le plan Nae. La composante de la rotation est le quotient
de cet angle par dt ou par ds, c'est-à-dire la courbure de la projection de l'élastique sur le plan Nos perpendiculaire àNô.
En résumé on a donc :
p = torsion
q = courbure de la projection sur A'O'C
Soient CD, C^D^ deux sections droites déformées, percées en N et N, par la courbe élastique. Considérons la portion CDCfDf de la verge. Elle est en équilibre sous l'action des parties CDAB, C^D^A'B', c'est-à-dire des pressions qui
iOi LEÇONS SUR LA THÉORIE DE L'ÉLASTICITÉ
s'exercent sur les difTérenU éléments des deax bases CD et C,D, et des attractions mutuelles entre les molécules de CDC,D|. Ces attractions étant deux à deux égales et opposées, la somme de leurs projections sur un axe quelconque est nulle ainsi que la somme de leurs moments par rapport à cet axe.
Il y a donc équilibre entre les pressions sur CD et les pressions surC,D,, Soient NP la pression résultante sur CD et NK le moment du couple résullanl; N,F, et N,K, les quan- * lilés analogues pour C,D^. L'un
doit avoir, puisque la projection d'un couple sur un axe est nulle,
NF + N,F, =0.
Si, d'autre pari, on cherche l'action de la partie ABC,D, BUrC,D,,on doit trouver une pression résultante N,Fi et un couple résultant N,K,' égaux et directement opposés àN,F, et N,K,.
Par conséquent: NF =z. N,F;, c'est-â-dire que la pression résultante est constante en grandeur et en direction quand on passe d'une section droite à une autre.
Je prendrai un point fixe G' sur OA' par lequel je mènerai G'P', vecteur égal et parallèle à NF; G'P' sera constant en grandeur et «n direction.
PROBLÈME DE l'ÉLÂSTIQUE
Menons également, par le point 0', le segment O'E' égal et parallèle au couple résultant NK.
Ses composantes seront les moments fléchissants et le moment de torsion.
Je vais étudier la variation de O'E'.
Nous avons vu que GDGiD^ est en équilibre sous Faction des forces NF, N^F^ et des couples NK, N^K^. Écrivons que la somme des moments par rapport au point N est nulle.
Soit NK2 un segment égal à N^Kj parallèle et de même sens, on aura :
c'est-à-dire :
(NK)-|-{KK,) + (K,N)=o,
-(KK,) = (NK)-|-(N,K,),
K2K est la somme des moments des couples NK et N^Ki par rapport au point N; pour l'équilibre il faut donc que KK^ soit égal au moment de N, F, par rapport au point N.
Il en résulte que KK 2 doit être perpendiculaire au plan NN^F^, c'est-à-dire au plan O'G'P'.
Considérons —7-^: cette
as
quantité est, en désignant par Q la projection de N surN^Pi , égale à :
NiFiX NQ
ds
ou N|F|SinQN<N;
206 LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLASTIGITÊ
KK et, comme N,P^ = G'P' est une quantité constante, —r^ est
proportionnel au sinus de Tangle A'G'P\
SoitO'F' le vecteur qui représente la vitesse du point E'; O'E' est égal et parallèle à NK, O'E ; est égal et parallèle à NK^ ,
