D = (DD -<) D

Ainsi la déformation D est la résultante de deux autres

DD' - « et D',

et la rotation moyenne (p, 9, r) est la somme géométrique des rotations moyennes partielles dues aux deux déformations composantes

DD' - « et D'.

* La rotation moyenne due à DD'-^ est nulle, car c'est la somme des rotations moyennes dues à D et à D' - ^ . Donc, par cette opération le trièdre reste parallèle à lui-même.

La rotation du trièdre est alors due uniquement à D', et ses composantes sont bien celles de la rotation moyenne en M.

16. Polynômes isotropes. — Considérons un polynôme homogène par rapport aux neuf dérivées:

d^ d^ d^ dri dœ dy dz dœ

nous dirons qu'il est isotrope si sa forme ne dépend pas du choix des axes. Cherchons les polynômes isotropes du second degré.

Nous savons déjà que ô = -r^ -|" T^ + 3" ^^l indépendant

du choix des axes, donc 6* est un polynôme isotrope du second degré :

Zj\dœ) ^ Zàdxdy On a vu également plus haut que

A, = 4 2*.*, - SPIc'est-à-dire :

^^ Zjdxdy Zj \dy) 2udy dx

est aussi un polynôme isotrope.

Enfin la rotation moyenne étant un vecteur indépendant du choix des axes, le carré de sa longueur

B = p5i + ^« + H, ou

Zj\dy) "^Zjdydx

est un troisième polynôme isotrope.

Toutes les combinaisons linéaires de 6', Aj et B seront isotropes. Parmi toutes ces combinaisons nous remarquerons les deux suivantes :

4 Z^ \dx dy dx dy)

c'est-à-dire :

^ -ZjD [X ; y)

9â LEÇONS SUR LÀ THÉORIE DE l'ÉLASTIGITÉ

..-A.+.c=2(|)'+SG^)'-

Y a-t-il d'autres polynômes isotropes du second degré linéairement indépendants des trois premiers ?

Considérons un polynôme isotrope du second degré par rapport aux neuf dérivées partielles.

Quand on change à la fois œ ^ y y z en — x , — y, — js et Ç , 7i , Ç en — Ç , — tj, — C les dérivées ne changent pas, donc le polynôme ne change pas.

Le polynôme ne doit pas changer non plus quand on fait tourner les axes ; faisons tourner le trièdre d*un angle tt autour de oz, cela revient à changer

Xy y en — a?, — y et Ç, r^ en — $, — -/j.

Donc le polynôme ne doit pas changer quand on change z et Ç en — ^ et — Ç et par suite dans chaque terme Tensemble des lettres z eïK entre un nombre pair de fois.

Il en est de même de a? et Ç, y et tj.

On s'assure aisément que les seuls termes satisfaisant à cette condition sont de Tune des quatre formes suivantes :

\dx) ' \dy) ' dx dy dy dx

On peut donc partager les termes des polynômes en quatre groupes. D'ailleurs le polynôme ne devant pas changer quand on permute les axes de toutes les manières possibles, comme dans cette opération les termes d'un même groupe s'échangent entre eux, ils doivent tous avoir même coefficient. Un polynôme isotrope du second degré sera donc une combi-

ÉTUDE GfNÉMATIQUE DES DÉFORMATIONS 23

naison linéaire des quatre sommes:

Zj\dx) ' Zjdxdy

2j\dy) ' Zjdydx

Nous connaissons trois de ces combinaisons linéaires. S'il y en avait plus de trois linéairement indépendantes, on en conclurait que les quatre sommes sont isotropes.

Il est facile de voir qu'il n'en est rien et que 2j(~)

n'est pas isotrope. Il suffit de faire tourner les axes des œ et des y de 2 dans le plan des xy. Cf. Théorie mathématique de la lumière (page 20) .

17. Déformations transversales et longitudinales. — On dit^qu'une déformation est transversale quand la dilatation cubique qui en résulte est nulle

dx"^ dy'^ dz

Un volume quelconque est donc conservé en tant que volume par la déformation.

Une déformation est longitudinale quand la rotation moyenne est nulle, lorsque l'on a par conséquent:

d^ di^

dy dz

dz dx

dt^ c?5

dx dy

U LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLâSTIGITÉ

OU, en d'autres termes, lorsque Idœ -f- r^dy -f- ^dz est une différentielle exacle.

Nous poserons alors :

Idx + r[dy + ^dz = cfcp.

On peut se demander, en adoptant cette définition, si une déformation peut être à la fois longitudinale et transversale. Si elle est longitudinale on a:

drù

dzt

la condition de transverralité devient alors Aqp = o en posant;

^ dx^ ^ dy^ ^ dz^

Il suffit donc que 9 satisfasse à l'équation de Laplace.

Cela [ne serait [pas possible pour un milieu indéfini, si on suppose que la déformation est nulle à Tinfini. On sait en effet que, si une fonction ç satisfait dans tout l'espace à l'équation

Aop =

et si ses dérivées s'annulent à l'infini, elles sont identiquement nulles, car la fonction se réduit à une constante.

Il en est de même pour un milieu limité, si on suppose la déformation nulle à la surface.

ÉTUDE GLNÉMATIQUE DES DÉFORMATIONS 'iH

Une déformation quelconque peut toujours être considérée comme la résultante de deux autres, Tune longitudinale, l'autre transversale, c'est-à-dire que, quelles que soient les quantités Ç, tj, î,on peut trouver d'autres quantités Ç^Tri,, ^^; ^2, 7)2> ^s satisfaisant aux équations :

■0 — ■ni + 'n*

et aux deux conditions :

dx ^ dy ^ dz l^dx -j- Tijf/y + ^2^z = différentielle exacte.

Nous avons posé :

dx ^ dy dz

donc ici 6 se réduit à:

dx ^ dy dz Mais si nous supposons :

l^dx -f- -rije/y + ÇjC?^ = rf^p,

Ç,, ïij, Çj seront les trois dérivées partielles de (p. Donc on aura :

6 est une fonction donnée quelconque de Xy y, z ; il suffit de

26 LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLASTICITÉ

trouver la fonction 9 satisfaisant à:

Aqp = e.

Considérons une matière attirante de densité -; — > le poten-

tiel dû à celte matière, qu'on suppose agir suivant la loi de Newton, satisfera précisément à la condition imposée.

^a» ""lai ^2 étant ainsi déterminés, on aura l^. t^^, ^^ parles formules

-*ii

et le problème sera ainsi complètement résolu.