Composition des déformations. — Considérons

un point M, soit M' sa position après une première déformation. Une autre déformation amène M en M'^ et M' en M'".

Si Ton fait subir au corps successivement ces deux déformations, le point M viendra en M"". Les deux points M et M' sont infiniment voisins; donc les vecteurs MM'^et M'M"^ qui représentent les déplacements de ces points peuvent être regardés comme égaux et parallèles. Le quadrilatère MM'M'^'M'^ est donc un parallélogramme, c'est-à-dire que MM'" est la som me géométrique des déplacements MM'^ et M'^M'* qu'éprouve le point M quand on soumet le corps successivement aux deux déformations.

18. Supposons que le corps conserve une forme invariable; il n'y a plus à proprement parler de déformation, mais un simple déplacement. Ce déplacement peut se décomposer en une translation et une rotation, la translation étant égale et parallèle au déplacement So»''loï^o ^^ Torigine, et la rotation ayant lieu autour d'un axe passant par cette même origine. Cette rotation pourra être remplacée par trois autres p, ^, r effectuées autour des axes coordonnés. Les formules qui donnent le déplacement du point (a?, y, z] sont donc :

l = lo + q^ — ry

•n = -no + ^^ — P^ C -=^0 -^py —qi^

Les dilatations et les glissements sont nuls dans un tel mouvement.

La réciproque n'est pas évidente ; nous allons la démontrer, c'est-à-dire faire voir que, si les dilatations et les glissements sont nuls, le corps se déplace à la façon d*un solide invariable.

14 LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLASTIGITÉ

Notre hypothèse est que Ton a les relations :

dx ^' \ dy ^ dz

dC, , d-n

dy \ dz~^ dœ

dz ^ \ dx ^ dy

. di[ . d\

Dififérencions la première des équations du dernier groupe par rapport à a?, la seconde par rapport à y, la troisième par rapport à Zy et nous aurons :

dœdy ' dzdœ

dydz ' dxdy

dzdœ ' dydz On en déduit immédiatement :

c^â?0?y rfyrfx eù'dla?

La relation — =: o nous apprend que Ç ne dépend que de

y el^, et la relation . , = o montre que l est la somme

d'une fonction de y et d*une fonction de z.

On a donc :

et de même :

ÉTUDE aNÉMATIQUE DES DÉFORMATIONS 15

Transportons ces valeurs de S, t), C dans les équations qui expriment que les glissements sont nuls :

— + ^ = donnera îpi (y) + fi W = o-

ce qui exige

p étant une constante.

On aura de la même manière :

et en intégrant et portant les valeurs trouvées dans les formules qui donnent £, t^, C on obtient :

'n = "no + ^^— p-^r

î = îo + py — s'^

Sot "no' ^0 ^^^^^ ^rois constantes dlntégration. Ce sont bien là les formules du déplacement d*un solide invariable. G. Q. F. D.

14. Rotation moyenne. — Considérons une déformation quelconque, et posons :

/ ^£^ = 2p fit/ dz '^

^ - ^ = 2(7 dz dx ^

5^ — ^ = 2r dx dy

i6 LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLÂSTIGITÉ

Le vecteur dont les composantes sont p, q^ r, s^appellera la rotation moyenne.

Ce vecteur est indépendant du choix des axes. Nous allons en eiïet en indiquer une interprétation purement mécanique.

Soient : MM' le déplacement du point M qui a pour coordonnées X, y, z ; MR la rotation moyenne en ce point M.

Considérons une sphère de rayon infiniment petit e ayant son centre au point M. Supposons-la remplie d*une matière homogène et chacun de ses points animé d'une vitesse représentée par le vecteur MM' de composantes Ç, tj, Ç, qu'on sait être indépendant du choix des axes (^).

Cherchons le moment de la quantité de mouvement de la sphère par rapport à son centre. Ce moment est un vecteur dont les composantes suivant les axes sont les moments des quantités de mouvement de la sphère par rapport à ces axes.

Considérons un élément de cette sphère, appelons tx sa masse, a? -|- 8a?, y -{-ly, ^ -f- Iz ses coordonnées. Si on rapporte cet élément à des axes menés par le point M parallèlement aux axes primitifs, ses coordonnées seront Sa?, By, Iz^ et sa vitesse aura pour composantes 5 + BÇ, ti + ^i ? + 5?-

Le moment de la quantité de mouvement du point par rapport à MA sera

V- [^ (Ç + BÇ) - Sx (7| 4- Bti)] et celui de la sphère tout entière sera

{}) Pour que le vecteur MM' représente à la fols un déplacemeot et une vitesse il faut supposer TuDité de temps déterminée.

Evaluons cette somme :

Mais nous avons :

car M est le centre de gravité de la sphère.

V[xBa?5y = VjxoyB^s^ = o car Mz et Ma? sont deux axes principaux d*inertie de la sphère, relatifs au point M.

Enfin VfJiSy* ^^ 9' ^ étant le moment d'inertie de la sphère

par rapport à un de ses diamètres.

Donc :

et de même :

2îx8z (,, + 8V,) = I • |.

Le moment de la quantité de mouvement de la sphère par rapport à MA est donc :

VËL ^\ — î 2 \dy dz)-'^ ' ^•

Les projections sur les axes du moment de la quantité de mouvement de la sphère par rapport au point M sont donc Ip, I^^, Ir.

La rotation moyenne, qui a pour composantes p, 9, r, est par suite, comme ce moment, une quantité indépendante du choix des axes.

15. Considérons le point M et une sphère infiniment petite ayant ce point pour centre. Après la déformation. M vient en M', la sphère devient un ellipsoïde. Trois diamètres rectangulaires de la sphère deviennent trois diamètres conjugués de Teliipsolde; donc, en général, il y a un trièdre trirectangle et un seul qui demeure trirectangle après la déformation : c'est celui qui correspond aux axes de rellipsoïde.

(Considérons ce trièdre : on peut Tamener de sa position ancienne à la nouvelle par un simple déplacement, c*est-À-dire par une translation suivie d'une rotation autour du sommet. Nous allons montrer que cette rotation est la rotation moyenne au point H.

i* Si la rotation moyenne est nulle au point M, le trièdre reste parallèle à lui-même.

En efifet, prenons comme origine le point M et pour axes les arêtes du trièdre. Les dilatations angulaires sont nulles :

Mais on a aussi, puisque la rotation moyenne est nulle :

Il s'ensuit:

dy dz

i5 — 5^ — dy" dz~' ^'

et les égalités obtenues par permutation circulaire.

Cela posé, une arête quelconque du trièdre, MM| par exemple, qui est parallèle à ox reste parallèle à ox.

En effet, soient a?, y, z les coordonnées de M ; a? -|- Ba?, y, z celles de M^ .

Désignons par M' et M j les positions nouvelles de M et de M, . M' a pour coordonnées a? + ;, y + "n» ^ + îî ^^^^ M'Mj a pour projections Ix + BÇ, ly + Btj, o;r + BÇ; ty et 8^ sont nuls par hypothèse.

D*autre part, 871= -^ 8a?, -p est nul, 871 Test donc aussi; il

en sera de même de 8C.

Le vecteur M'M( a des projections nulles sur oy eioz\ il est parallèle à ox\

2'* Considérons, en second lieu, le déplacement d'un solide invariable. On a entre les déplacements S, tj, (et les rotations p, q, r les relations :

ï = îo +<i^ — ry

•n = "no + ^^ — • p-^

Ç= Ço -j-py — ^^

on en déduit :

dy ^ dz ^'

c'est-à-dire :

2 \dy dz) "" ^'

Examinons le cas général.

Soient: D la déformation considérée ;

D' une rotation dont les composantes soient celles de la rotation moyenne an point M;

D'~ * la rotation inverse.

Dé^5ignons par DD'-^ Tensemble des deux opérations D et D'- * faites successivement, on aura :