Équations de l'équilibre. — Soient n molécules

28 LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLASTICITÉ

m^, mj,..., w„; x/, y/, Zi les coordonnées de la molécule m, dans sa position d'équilibre naturel (c'est-à-dire dans la position qu'elle occupe avant toute déformation). Supposons que le corps se déforme ; les coordonnées de m/ deviennent ^i + 5/' I/i + "Hm ^i + ^i' Nous appellerons A/, B^, C/ les composantes suivant les trois axes de coordonnées de la force, agissant sur w/, qui provient de l'action des autres molécules ; A;, B/, C/ sont des fonctions des coordonnées de toutes les molécules, xj^ -}- Ij^., y^ + t\k^ ^k-^W, P/, Q/, B; seront les composantes de la résultante de toutes les forces extérieures agissant sur m^, dans la position d'équilibre naturel. Dans une autre position d'équilibre (que nous appellerons position d'équilibre contraint) les forces extérieures auront pour composantes P/ -|- X/, Q/ -{- Y/, B/ -f Z/. Les équations de l'équilibre naturel seront:

puisque toutes les forces qui agissent sur chaque molécule doivent se faire équilibre.

Si les forces extérieures varient, l'équilibre sera troublé et le corps se déformera jusqu'à ce que A/, B/, C/, qui sont des fonctions de la déformation, aient pris des valeurs telles qu'elles fassent équilibre aux forces extérieures. Les équations de l'équilibre contraint seront par suite :

20. Étude des forces intérieures. — La première hypothèse en date, qui est celle de Poisson et de Cauchy par exemple, est l'h}T)olhèse des forces centrales : deux molécules quelconques exercent Tune sur Tautre une attraction ou une répulsion réciproque, dirigée suivant la droite qui les joint et dépendant seulement de leur distance. C*est cette hypothèse qui paraît la plus naturelle, et on s'y est arrêté longtemps.

Lamé a fait une hypothèse plus particulière encore: il suppose lattruction nulle dans Fétat d*équilihre naturel; si les molécules se rapprochent à partir de celte position d'équilibre, il se développe une force répulsive ; si elles s'élcignent, une force attractive ; de manière que la force tende toujours à ramener la molécule dans la position d'équilibre naturel. Dans Thypothèse de Lané, féquilibre naturel est donc caractérisé par les équations :

A|= o Bi = o C/ = 0,

et par suite aussi par les relations :

P/ HZ o Qi = o R/ = o.

La position d'équilibre naturel correspond donc au cas où il n'y a pas de forces extérieures, mais la réciproque n'est pas vraie. Si l'on suppose les forces extérieures nulles dans l'état d'é juilibre naturel, il n'en résulte pas que les attractions des molécules sont toutes nulles ; car il pourrait se faire que les diverses attractions se Qssent équilibre sans être nulles séparément. Il n'y a donc aucune raison pour adopter cette hypothèse de Lamé qui, d'ailleurs, ne simplifie ni les calculs ni les résultats.

L'hypothèse des forces centrales n'est elle-même qu'une

hypothèse particulière ; prenons pour A^, B/, C/ des fonctions quelconques des aj^ + 5*» y* + "H*» ^* + C*> et supposons que ^/, Yj/, C/ subissent des accroissements c^/, efT)/, c2^$ le travail des forces intérieures est :

Le principe de la conservation de l'énergie exige que ce travail soit une difTérentieiie exaclc ; nous poserons en conséquence

U sera une fonction des coordonnées de toutes les molécules:

U = r(^k + 5ai i/*+ -nA, ^k + Ç*ï )

et on aura

A dU dli

La seule hypothèse nécessaire est donc que les forces intérieures dérivent d'un potentiel.

21. Étude des forces extérieures. — Ces forces forment deux groupes distincts ; il peut d*abord se faire qu'elles agissent snr toutes les molécules du corps, aussi bien sur les molécules intérieures que sur les molécules superQcielles ; loi est, par exemple, le cas de la

pesanteur. Il est d'autres forces, inutiles à énumérer toutes ici, qui n'agissent qu'à la surface. Pour en donner un exemple, supposons un gaz renfermé dans une enceinte; il exerce une pression sur la paroi, et celle-ci, en vertu du principe de Tégalité de l'action et de la réaction, réagit sur le gaz. Celle pression de la paroi sur le ga7. est une force extérieure appliquée seulement aux molécules superficielles.

Le choix de la position d'équilibre naturel semble à peu près arbitraire ; par suite, il peut paraître simple de choisir la position que prend le corps en l'absence de toute force extérieure. Gela n'est pas toujours possible; nous avons en effet supposé les déformations très petites, et toute la théorie repose sur cette hypothèse; il nous faut donc choisir une position d'équilibre naturel différant très peu de la position d'équilibre contraint que nous avons à étudier ; c'est pour cela que nous conservons P/, Q/, R/ dans nos formules, c'està-dire que nous ne supposons pas les forces extérieures nulles dans l'état d'équilibre naturel.

Pour bien en montrer l'utilité^ reprenons l'exemple du gaz renfermé dans une enceinte et soumis à une pression provenant de la réaction de la paroi ; on ne pourrait pas supposer cette pression nulle dans l'état d'équilibre naturel, car le volume correspondant serait InQni et la déformation serait par suite aussi infinie (*).

22. Étude de la fonction des forces. — Revenons aux forces intérieures; pour les connaître, il nous faut étudier

(*) CeUe as8imUaUon d*un gaz à ua corps élastique n^est pas tout à fait rigooreose, car on a rhabilade de coasldérer les gaz comme formés de molécules ea mouvement; il s'agit d'un état dynamique et non d*un état statique; mais elle safût pour faire comprendre la justesse de notre remarque.

32 LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLASTIGITÉ

la fonction U. Si on la développe par la formule de Taylor, en considérant Ç, -ri, Ç comme les accroissements de x, y, z on a:

u = Uo + u, + u, + U3 + ...

Uq sera une constante: c'est U (a?/, 7//, Zi)\ U^ renferme les termes du premier degré par rapport à Ç, tj, Ç ; Uj: les termes du second degré, etc.

Gomme les quantités ^, t\, C sont supposées très petites, nous négligerons leurs cubes, et nous arrêterons le développement à Uj. On a alors

U = Uo -f U, + U„ et par suite

dy\i d-r\i car Vq ne dépend pas des Ç, t^, C; ^ est indépendant des l ;