IT

-j;.-* est homog.^ne et du premier degré par rapport aux l et,

par suite, s*annule dans la position d*équilibre naturel ; on a alors simplement :

dU.

Les équations de Téquilibre naturel deviennent donc:

-pi + P,- = o

' 5ïi7 + ^' = °

Dans la position d'équilibre contraint, on aura

^ + ^ + Q, + Y, = o ''U, , rfUi , R |7 „

On en déduit:

rf5f + ^' = "

Ce sont ces dernières équations qui déterminent les déformations: nous nous donnons les forces déformantes X/, Y/, Z/, c'est-à-dire les forces qui s'ajoutent à celles qui existaient dans la position d'équilibre naturel ; nous avons alors 3n équations linéaires pour déterminer les 3n inconnues 5/, tti/, ?/. Le problème est donc théoriquement résolu et d'une manière très simple; mais le nombre extrêmement grand des molécules

ÉLASTICITé. 3

34 LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'É' \ STICITÉ

rend cette solution absolument impraticable, nous somm^^ donc obligés de recourir à d'autres considérations.

28. Cherchons une autre expression de la fonction U. Cette fonction changée de signe est l'énergie potentielle due aux actions mutuelles des molécules; elle ne peut donc dépendre que des distances des molécules, car, si le corps se déplace à la façon d'un solide invariable, il est évident que les actions mutuelles des molécules ne produisent aucun travail (*).

Considérons deux molécules quelconques m^ et 7^^ ; appe-> Ions a?, y, z les coordonnées de la molécule m^ dans la posi-^ tion d'équilibre naturel, a? -f" 5> y H~ ''1» -^ + C ^^s coordonnées de la même molécule dans la position d'équilibre contraint ; les coordonnées de m^ dans la position d'équilibre naturel seront x -\- Dx, y -|- Dy, z -f- Bz (en employant la notation Do? pour désigner une différence qui, du moins jusqu'à nouvel ordre, n'est pas supposée infiniment petite) ; elles seront dans la position d'équilibre contraint :

a? + Dar-f Ç + D5, y + Dy -f- -ri -f D-r|, ^ + D^ -f- Ç -f Dî

Les projections du vecteur m^m2 sur les trois axes, qui sont Dxy Dy, Ds-, dans l'équilibre naturel, deviennent dans l'équilibre contraint Dx + D5, Dy -f- Dij, Bz -f- DÇ. Soit U le carré de la distance m^m2 dans la position d'équilibre naturel; R -f- p le carré de cette môme distance dans la

(1) Pour 8*6 n convaincre, on peut remarquer que si, par exemple, une ro!n* tion d'un angle — produisait un tiayail, en la répétant q fois on produirait un travail q fois plus grand, et cependant le corps reviendrait à sa position initiale; ce qui est impossible, puisquMl y a une fonction des forces*

position d'équilibre coDtraint; nous avons: Par suite :

p = 22Da:D5+.2^î'

Nous poserons ^

p^ = 2 {DxDl + DyDYi -(- D^D;), p, = Dî> +. DV + Dî;^

et il viendra :

Les déplaeements l,r[^K sont supposés infiniment petits du premier ordre ; il en est nécessairement de même de leurs difTérences D;, Dtj, D(; par suite p, est inOniment petil du premier ordre et p, du second ordre.

U est une fonction des quantités R -{- P

U=rF(R + p,R'-f.p',...).

Développons cette expression par la formule de Taylor, nous aurons :

U = F(R.R'....)+i;Ip+|2.7S?' + 2rfSpP'+-

Nous avons déjà négligé les infiniment petits du troisième ordre dans l'expression deU; nous devons donc limiter le développement de U aux termes du second ordre. Nous allons

comparer ce développement avec celui que nous avons trouvé plus haut.

Pour cela, remplaçons p par sa valeur :

P = ?i + 9r On a :

Nous négligerons Cip^ et p| qui sont respectivement du troisième et du quatrième ordre infinitésimal; de même no* ^ remplacerons cp' par s^o^, et il viendra

Un quelconque des cinq groupes de termes de U est homogène par rapport aux ;, t^, C; si nous identifions avec l'expression déjà obtenue

U = Uo + U, + U„ nous arrivons aux relations

Uo = F(R, R' )

^'« -■= ErfR P*

^^ - 2jc/RPâ "•"2 ZidR^ P' ' 2jrfR5R' ?«•''«•

Uj est la somme de trois groupes de termes; nous allons montrer que, dans Thypothèee des forces centrales, le troisième groupe disparaît identiquement, c'est-à-dire que l'on a dans ce cas:

cm^m'

En eflet, les actions des difTérentes molécules se réduisent alors aux attractions mutuelles des molécules deux à deux ; Tal traction ne dépend que de la distance des deux molécules considérées et reste la même si Ton en introduit d'autres. Donc l'énergie potentielle totale U est la somme des énergies potentielles dues à tous les couples de molécules, considérés successivement, c'est-à-dire que l'on a :

chacune des fonctions ne dépendant que d'un argument; par suite:

cP\]

G*est là un point important; nous en conclurons plus tard que dans Thypothèse des forces centrales il doit y avoir une relation numérique entre les coefticients d'élasticité X et [jl de Lamé, ce qui fournit une méthode expérimentale pour rechercher si Thypolhi^se des forces centrales est conforme à la réalité.

24. Nous avons supposé jusqu'à présent que toutes les molécules étaient libres; dans certaines théories, au contraire, on les suppose assujetties à des liaisons. Pour trouver dans cette hypothèse les équations d'équilibre, il suffit d'appliquer la méthode de Lagrange. Nous avons écrit les équations

A,-t-P/+.X, = o B/ + Q, + Y, = Ci + R/ -f Z/ = o

qui expriment que la molécule est en équilibre sous l'action

38 LtÇONS SUR LA THÉORIE DB L'ÉLASTICITÉ

des forces intérieures el exlérieiires [seules. Supposons qu'il y ait des liaisons déûnies par les équations :

les équations d'équilibre seront d'après des principes connas

B» -r Vi -r 1* -r N :5r -t" ^ ^ i- • -r ^^ ^ . — "

ef»^ ^ ** rfr, ' ■" • ' rfT>

i,, ij ... A^ étant des constantes ÎDConnues; noos avons ainà intrvvduit p inconnues nouTelle:^, mais noos avons aussi 1^ équations de plus, les p équations de liaison.

R 5*?mbîe, a j premier aborvi, qu>n intrvNlatsant celle bypoibèse noos p^Mirrons étudier des phénomènes plus p^Dé^aax ; c**5l-^-4iTe qae Thvpotbése de nKvesruWs ent>èrefliieiil libres re-sire-ifil la ceo^rairte : ce n*eï>t qu'uce arpareiK-e.

Pïeooos. par exempt, la liai^'Xi !a pl,2s simple : sapfNKOos >*itx E>x-*c3ues i>5?3i;e;iie;s à îe^î^- à uae d^a::ïce invanabSe "i '/,::^»f 5* Ta^rrr. Tv-it se passée cn>3:=>* s'il e\i<tail entre f-lj^s xa** fvNT.-e aîîrictixe vSi reptisîxe d:r^xe sciva^sl la -rr*:i::-* ^jii rfs vcaî « \?c-c:xc: se*>c::Tc: ie *-iar distance, v-^iCL-f 5:W.v «eiar: >«r|v>i5ee eïlIV |>,Nir - = -,. îîès? ^iruKle et

répulsive pour r =rQ — e, très grande et attractive pour

La force de liaison apparaît donc, dans cet exemple simple, comme un cas limite de la force ordinaire. On pourrait faire une élude analogue pour les liaisons quelconques, et Ton arriverait au même résultat. On ne généralise donc pas en introduisant des liaisons; nous reviendrons d'ailleurs plus loin sur ce sujet à Toccasion des théories qui leur attribuent un rôle important.

Indiquons simplement la réponse à une question qui se pose naturellement. Si Tintroduclion de liaisons ne donne pas une plus grande généralité, si, par consé(iuent,on peut arriver à des résultats tout aussi étendus en n'introduisant que <les forces ordinaires, à condition de ne pas préciser la nature de ces forces, comment se fait-il qu'on ait créé des théories différentes en faisant usage de liaisons? La raison en est simple : il est certains esprits auxquels répugne la conception d'actions à distance autres que des forces centrales ; dans les cas où l'hypothèse des forces centrales ne rend pas compte des faits observés, ils introduisent des liaisons qui leur permettent d'expliquer ces faits sans renoncer à leur hypothèse fondamentale.

25* Rayon d'activité moléculaire; expression nouvelle de la fonction U. — Pour continuer les calculs, il faut introduire une nouvelle hypothèse: nous allons supposer que les actions moléculaires ne s'exercent qu'à des distances très faibles, de sorte qu'elles deviennent insensibles lorsque la distance dépasse une longueur extrêmement petite appelée ravon d'activité moléculaire.

40 LEÇONS SUR LA THÉORIE DK L'ÉUSTICITÉ

Par suite -jg et -yrp seront supposés très petits, à moins que

la distance VR des deux molécules ne soit inférieure au rayon d'activité moléculaire.

Pour les termes tels que 35-75-,, il y a quelque chose de plus;

soient m^, m, les molécules dont la distance est \K\ m,, «i^, les molécules dont la distance est \JW ; le terme r^jn» est négligeable, à moins que les molécules m^, m,, Wj, m^ ne soient toutes les quatre à l'intérieur d'une sphère de rayon très petit (il ne sufBt pas pour cela que R et R' soient très petits, il faut que les autres côtés du quadrilatère m^ m^ m, m^ le soient aussi); ces conditions sont absolument nécessaires.

Divisons le volume du corps en deux volumes partiels V et V; supprimons dans U^ tous les termes pour lesquels v^ est supérieur au rayon d'activité moléculaire; nous distinguerons dans U^ trois groupes de termes. Dans le premier, nous rangerons les termes tels que les deux molécules correspondantes m| et m, soient toutes deux à l'intérieur du volume V ; soit U4 la somme de ces termes; dans le second, nous placerons de même les termes tels que les molécules m^ et m^ soient toutes deux dans le volume Vï, et nous désignerons leur somme par UJ; enfin, le troisième groupe comprendra tous les autres termes, c'est-à-dire ceux pour lesquels, des deux molécules m^ et m^, Tune est dans le volume V, l'autre dans le volume V" ; en appelant U7 la somme des termes du troisième groupe, nous aurons

u^ = u; + uî-|.U7.

Dans U,, nous effectuerons une décomposition analogue;

d¥ cPF

les termes tels Que^j -^ correspondent à un couple de

(PF molécules; les termes tels que .^ ,p . à deux couples de molécules, c*est-à-dire à trois ou quaire molécules. 11 faut que les deux, trois ou quatre molécules soient toutes à Uintérieur d*une sphère très petite. Nous rangerons encore dans un premier groupe les termes tels que les molécules correspondantes soient toutes dans le volume Y', et nous désignerons leur somme par Uj ; nous définirons de même UJ ; enfin Uj comprendra les termes tels que les molécules correspondantes soient les unes à l'intérieur de V, les autres à Tintérieur de y ; nous aurons alors :

U, = Ui + Uî + UJ.

Nous allons simplifier les expressions de U^ et Uj. Occupons-nous d*abord de U^ ; les termes qui entrent dans U7 sont excessivement moins nombreux que ceux qui forment U( ou UJ. Ce sont en effet des termes tels que le vecteur m^m^ ait ses extrémités Tune dans le volume V, l'autre dans le volume y". Ce vecteur est supposé inférieur au rayon d'activité moléculaire ; donc la distance de la molécule m^ à la surface de séparation est plus petite que ce rayon; il en est de même pour m^. Les molécules considérées sont donc comprises dans une zone étroite de part et d'autre de la surface de séparation et dont le volume est du môme ordre de grandeur que le rayon d'activité moléculaire ; car nous supposons, bien entendu, que l'aire de la surface est finie. Le volume de la zone est donc très petit par rapport aux volumes V et V, et nous

42 LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLASTIGITÉ

pouvons négliger U7 par rapport à U| et UJ, c'est-à-dire écrire :

u, =u;+uî.

Un raisonnement analogue donnerait l'égalité exacte au même degré d'approximation :

UjrzrUi +UÎ.

Ces égalités expriment que, pour avoir les valeurs de U| H de Uj relatives à un volume V -|- V", il suffit de faire la somme des valeurs relatives aux deux volumes partiels V et V".

Le théorème subsiste évidemment encore si Ton a un plus grand nombre de volumes partiels, à condition toutefois que ces volumes partiels soient très grands par rapport à la sphère d'activité moléculaire ; sinon la démonstration ne s'appliquerait plus.

Nous avons dit que nous supposions le rayon d'activité moléculaire très petit, sans préciser davantage; nous admettrons qu'il Test suffisamment pour qu'on puisse partager le corps en éléments très petits d'une manière absolue et cependant très grands par rapport au rayon d'activité moléculaire. Quand nous parlons d'éléments très petits d'une manière absolue, cela veut dire, d'abord, qu'ils sont très petits par rapport aux dimensions du corps; ensuite, qu'à l'intérieur de chacun de ces volumes élémentaires nous aurons le droit de

considérer Ç, t, Ç et leurs dérivées -p-î -t-j ••• -r- comme des

ax ay az

<;onstantes. Soit di un de ces volumes, W^c/t la valeur de U|

<:orrespondanle, Wj dx la valeur de U,. Comme les volumes sont très petits, nous pouvons, sans erreur sensible, remplacer le signe de sommation par le signe d'intégration et au lieu de:

<^crire :

Uj = f'W^di

les intégrations s'étendant à tous les éléments di du volume du corps.

Les expressions de W^rfr, Wjrfx sont les suivantes:

W,rfT=Vgp,

les sommations ne se rapportant qu'aux systèmes de molécules entièrement situés à Tintérieur du volume dr.

26. Étude de la fonction WV — Nous allons maintenant chercher les expressions de W^c/t, W^c/t; cela devient facile, car Da?, Dy, Dz sont maintenant des quantités très petites, puisqu'elles sont supposées de Tordre du rayon d activité

moléculaire. Nous pouvons donc écrire:

en négligeant les carrés de Do?, Dt/, Uz, Calculons la valeur de p| ; nous avons posé :

p^ = 2 (D.rD; + DyD-ri + D^Dq

On a donc :

ou avec les notations adoptées :

Nous observons que p^ est un polynôme homogène et linéaire par rapport aux quanlite's a et p ; mais W^/^t est homogène et du premier degré par rapport aux pi ; donc W^c?T est homogène et du premier degré par rapport aux a et aux p. Nous allons calculer ses coefficients. On peul écrire, pour abréger :

ÉTUDE DES FORGES ÉLASTIQUES i5

et on a alors :

les premiers signes de sommation se rapportent aux trois axes de coordonnées ; les autres, aux couples de molécules renfermées à l'intérieur du volume dx.

Supposons que dans Tétat d'équilibre naturel les forces extérieures soient nulles ; on aura :

dV^ dVj rfU«

dii di\i dlii

Il en résulte que U^ est identiquement nul ; c'est en elTet un polynôme homogène et du premier degré par rapport aux Ç, Tj, Ç, et le théorème d'Euler donne :

Donc, dans ce cas, "W^d-u est identiquement nul ; les coefficients de ce polynôme sont alors tous nuls, et nous avons les six relations :

2^D,D,=» s^D.-Dx=„ 2i»'»»=°-

Ce sont les conditions nécessaires et sufQ<anles pour que les forces extérieures soient nulles dans l'état d'équilibre naturel.

fn. Étude de la fonction W^. — Occupons- nous maintenant de W^cIt; nous avons réparti ses termes en trois groupes. Considérons les termes du second et du troisième groupe^ c'est-à-dire;

Cet ensemble de termes est homogène et du second degré par rapport aux quantités p, ; par suite, il est homogène et du second degré par rapport aux a et p. Il y a donc 21 coefQcicnts dans ces deux groupes de termes.

Pour calculer les termes du premier groupe, cherchons la valeur de pj. On a:

p, = DÇ» + Dtï» + DC».

D'ailleurs:

Donc y si nous posons

rr __ g^ ^ I ^"n A I Q^ ^j

^^ dy dz'^ dy dz ' dy az ou, quels que soient u et t?:

n ^^^A,^^^^^ "*' du dv du dv "^ du dv

ÉTUDE DES FORGES ÉLASTIQUES Al

nous aurons :

c'est-à-dire que p, est une combinaison linéaire des six polynômes n. Le premier terme de Wj^t sera donc aussi une combinaison linéaire de ces six polynômes, et renfermera par suite six coefGcients.

Il entre donc dans l'expression de W^c^t 21 -|- 6 = 27 coefficients arbitraires. L'expression» coefficients arbitraires » signifie simplement que ces coefficients sont indéterminés si Ton ne précise pas la nature du corps, mais il est bien clair que, pour un corps donné, ces coefficients ont des valeurs parfaitement définies.

W^dr est un polynôme homogène et du second degré par rapport aux neuf dérivées partielles de $, t), Ç; mais ce polynôme n'est pas quelconque, car un polynôme homogène du

9 10 second degré à neuf variables renferme en général ' = 45

coefficients distincts, et Ton vient de voir qu'il n'y en a que 27.

Ces vingt-sept coefficients sont en général des fonctions de 07, y, ^ ; si le corps est homogène, ce que nous supposerons presque toujours, ces coefficients sont des constantes.

28* Leur nombre peut se réduire considérablement dans divers cas. Lorsque les forces sont centrales, on a:

dRdW

et les termes du troisième groupe disparaissent. Si les forces extérieures sont nulles dans l'étal d'équ ilibre naturel, c'est

48 LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLASTICITÉ

le premier groupe qui disparaît; c'est en effet une combinaison linéaire des polynômes II ; le coefQcient de Uxx est :

et le coefficient de âJI^^s

si »»■"■

et nous avons vu que ces coefficients sont nuls dans le cas qui nous occupe.

Il y a donc trois groupes de termes en général ; le troisième disparaît dans le cas des forces centrales, le premier dans le cas où l'on suppose les forces extérieures nulles dans Téquilibre naturel, le second subsiste toujours.

Cherchons quelles simplifications sont apportées par la suppression du premier ou du troisième groupe ; pour cela étudions de plus près le second. C'est une combinaison linéaire des quantités p^ ; or pf est un polynôme du second degré par rapport aux a et aux p, dont les vingt et un coefficienls sont fonctions seulement de Da?. Dy, Dz. Ces vingt et un coefficients sont donc liés par dix-huit relations. Parmi ces relations, celles qui ne sont pas linéaires ne subsistent pas lorsqu'on multiplie les pj par des quantités arbitraires telles

que -777^ et qu'on les ajoute ; au contraire, celles qui sont

linéaires ont encore lieu entre les coefficients du groupe de termes que nous considérons. Nous obtiendrons donc le nombre de coefficients distincts que renferme le second groupe de termes de W^c^t en retranchant de vingt et un le nombre des relations linéaires qui existent entre les coefficients de pf .

On a :

p, =22»|Da?2+22P<%D^»

et on voit facilement qu'il existe six relations linéaires entre les coefficients de pj ; trois de ces relations sont de la forme :

coeff. de âx^Xj = coeff. de p§, et les trois autres de la forme:

coeff. de 2,3^.8^ = coeff. de 2x3^..

Donc il y a six relations linéaires entre les vingt et un coefficients du second groupe, et par suite il n'en reste que quinze réellement distincts. Nous pouvons dès lors résumer les résultats obtenus dans le tableau suivant :