PROBLÈME DE L'ÉLASTIQUE

76. Nous avons supposé jusqu'ici que les dimensions des corps que nous considérions étaient toutes finies, par conséquent que des forces finies agissant sur ces corps produisaient des déformations infiniment petites. II n'en est plus de même pour des corps dont une ou deux dimensions sont très petites, par exemple pour des plaques minces ou des verges de faible section. Une telle verge rompra sous l'influence de forces finies, mais sous l'action de forces très petites elle pourra subir des déformations finies sans qu'il y ait rupture.

Pour qu'il n'y ait pas rupture il faut évidemment que les dilatations linéaires et angulaires restent infiniment petites; je dis que, avec cette condition, la déformation peut être finie. Décomposons en effet la verge en cylindres élémentaires tels que leurs trois dimensions soient du même ordre de grandeur. Un de ces cylindres peut prendre une courbure finie bien que les dilatations restent très petites. De simples considérations d'homogénéité vont nous en convaincre.

Un cylindre fini soumis à des forces finies prend, si les dilat allons sont très petites, une courbure très petite, c'est-à-dire que le rajon de courbure devient très grand. Les dimensions du cylindre et le rayon de courbure sont des longueurs, les

dilatations -r- et -— 4- 7 sont des nombres. ocv c'y «3-

Divisons toutes les dimensions par un nombre très grand : le cylindre deviendra infiniment petit, les dilatations ne changeront pas et le rayon de courbure qui était très grand deviendra fini.

77. Considérons une verge de section infiniment petite, supposons que les seules forces extérieures se réduisent à des forces et à des couples appliqués aux deux extrémités; supposons en outre que dans chacun des cylindres élémentaires la distribution des forces soit celle qui correspond aux conditions du problème de Saint-Venant ; nous allons étudier la déformation de cette verge. Pour justifier la dernière hypothèse, on dit quelquefois que, la verge étant très petite, les points d'application des forces réelles sont infiniment voisins de ceux des forces de Saint-Venant. Ce n'est pas très satisfaisant, mais nous nous contenterons de cette raison.

Nous ne considérons que les verges dont la section a deux axes de symétrie ; soient MM^ la fibre moyenne, c'est-à-dire celle qui passe par le centre de gravité, MP et MQ les deux axes delà section droite en M.

Après la déforniation, la fibre moyenne devient une courbe. C'est cette courbe que l'on appelle courbe élastique et que nous allons déterminer.

PROBLÈME DR l'ÉLASTIQUE

Soient NN^, NF, NQ' ce que deviennent MM,, MP et MQ Menons les trois tangentes en N à ces courbes : Na, Np, Ny. L'angle pNy est droit d'après une remarque faite plus haut; projetons cet angle sur le plan normal à la courbe NN, en N. La projection eN8 est encore un angle droit aux infiniment petits du second ordre près. Donc aux infiniment petits du second ordre près le trièdre Naoe est trirectangle.

Nous allons montrer que le problème de l'élastique gauche se ramène à l'étude du mouvement d'un solide pesant qui a un point fixe.

Rappelons rapidement les notations emploj-ées.

Soient 0 le point fixe, OA, OB, OC les axes d'inertie relatifs à ce point, A, B, G les moments d'inertie correspondants. Représentons par le vecteur OD la rotation instantanée du corps, soient p, q, r ses composantes. Le vecteur dont les composantes sont kp, Bg, Cr* et que nous désignerons par oE représente l'axe du couple de la somme des moments des quantités de mouvements de tous les points du corps.

On sait d'après un théorème de mécanique que le point E se déplace et que, si le vecteur OF représente la vitesse du point E, ce vecteur est aussi égal à la somme des moments de toutes les forces appliquées au corps par rapport au point 0.

Soit G le centre de gravité que je suppose surOA ; supposons que la seule force appliquée au corps soit son poids OP.

Le vecteur OF sera perpendiculaire au plan OGP et sa grandeur sera définie par :

OF = GP X OQ

en désignant par Q la projection du point 0 sur GP. Si G désigne l'angle AGP on aura :

Donc

0Q= OGsinG.

OF = GP X OGsinG

fD'

et, comme OG et GP sont constants, OF est proportionnel à sinG.

78. Nous allons retrouver tous ces éléments dans la théorie de l'élastique.

Considérons la courbe NN^ et le trièdre précédemment défini Na8e et supposons que le point N décrive la courbe] avec une vitesse égale à l'unité. En dénotant par s l'arc de la courbe compté à partir d'un point fixe on aura : s =: t. Le trièdre NaSs se déplace avec le point N ; pour étudier son mouvement nous menons par un point fixe 0' des parallèles à ses arêtes O'A', O'B', O'C'. Le trièdre O'A'B G' tourne autour du point 0', je dis que son mouvement est le même que celui du trièdre OABG autour du point 0.

Soit en efi'et à un instant quelconque O'D' la rotation.

Cherchons ses composantes. Pour trouver la composante

PROBLÈME DE l/ÉLASTIQUE 203

suivant Na, considérons sur l'élastique un point N< voisin de N, soit NN^ =z ds= dt ef^ ^'x^h^t^ le trièdre NaSe transporté en N^ Projetons 8^N^e^ sur le plan 8Ne, soit 82^262 1^ P^'Ojection, l'angle Mg sera encore droit aux infiniment petits près du second ordre d'après ce qu'on a vu plus haut. La rotation nécessaire pour amener 8Ne à être parallèle à 82N2e2 est

anffle de No avec N^o., No, N,Oq

— ■ ; ^-= ou encore , ' •

df ds

C'est ce que nous avons appelé la torsion.

Cherchons la composante suivant N8, pour cela nous opérerons de même, c'est-à-dire nous projetterons a^N,£^ sur le plan aNe, on ohliendra aussi a2N2£2^gal àaNeaux infiniment petits du premier ordre près. Pour passer de aNe h a2N2£2 il faudra tourner d'un certain angle, angle de N2a2 avec Na, qui est l'angle de contingence de la projection de l'élastique sur le plan Nae. La composante de la rotation est le quotient de cet angle par dt ou par ds, c'est-à-dire la courbure de la projection de l'élastique sur le plan Nae perpendiculaire à No.

En résumé on a donc :

p = torsion

q ■= courbure de la projection sur A'O'C

Soient CD, C,D, deux sections droites déformées, percées en NetN, parla courbe élastique. Considérons la portion CDC,D, de la verge. Elle est en équilibre sous l'action des parties CDÂB, C,D,A'B', c'est-à-dire des pressions qui

s'exercent sur les différents éléments des deux bases CD et C^D^ et des attractions mutuelles entre les molécules de GDG^D^. Ces attractions étant deux à deux égales et opposées, la somme de leurs projections sur un axe quelconque

est nulle ainsi que la somme de leurs moments par rapport à cet axe.

Il y a donc équilibre entre les pressions sur CD elles pressions surC^D^. Soient NF la pression résultante sur CD et NK le moment du couple résultant ; N^F^ etN^K^ les quantités analogues pourC^D^. L'on doit avoir, puisque la projection d'un couple sur un axe

est nulle,

NF + N,F, = o.

Si, d'autre part, on cherche l'action de la partie ABC^D^ sur C,D^,on doit trouver une pression résultante N^F^' et un couple résultant N^K,' égaux et directement (»pposés à N^F^ et N^K^.

Par conséquent : NP = N,F{, c'est-à-dire que la pression résultante est constante en grandeur et en direction quand on passe d'une section droite à une autre.

Je prendrai un point fixe G' sur OA' par lequel je mènerai G'P', vecteur égal et parallèle à NF ; G'P' sera constant en grandeur et en direction.

PROBLÈME DE l'ÉUSTIQUE 205

Menons également, par le point 0', le segment O'E' égal et parallèle au couple résultant NK.

Ses composantes seront les moments fléchissants et le moment de torsion.

Je vais étudier la variation de O'E'.

Nous avons vu que GDG,D, est en équilibre sous l'action des forces NF, N,F, et des couples NK, N,K,. Écrivons que la somme des moments par rapport au point N est nulle.

Soit NK2 un segment égal à N,K| parallèle et de même sens, on aura :

(NK)-f-(KK3) + (K,N)=o, c'est-à-dire :

-(KK,) = (NIv)-l-(N,K,),

KjK est la somme des moments des couples NK et N^K^ par rapport au point N; pour l'équilibre il faut donc que KKj soit égal au moment de N^F^ par rapport au point N. Il en résulte que KK 2 doit être perpendiculaire au plan NN,F^, c'est-à-dire au plan O'G'P'.