VM
Considérons un point M du périmètre de la section, la normale en ce point et un point M' voisin de M pris sur cette normale. On a :
■ MM' = dn
Faisons la représentation conforme, le point M vient en M^ sur le cercle et M' vient en M{ sur la normale au cercle, puisque les angles sont conservés.
m^m; = cm
On a évidemment :
par conséquent :
d (X -f- A") j d[x-\- iy] !
A l'aide de la transformation U ^ cp (m) on a donc ramené le problème au cas du cercle.
Le problème de Saint-Venant pourra par suite être résolu pour toutes les sections dont on saura faire la représentation conforme sur un cercle, en particulier pour les sections elliptiques ou rectangulaires.
Il en sera de même si l'on peut représenter la section sur un anneau circulaire, ce qui est le cas d'une couronne comprise entre deux ellipses homofocales, par exemple.
72. Nous allons maintenant revenir à l'expression générale de ^, 7), C et nous chercherons les six solutions particulières simples du problème autres que les déplacements sans déformation.
PROBLÈMK DE SAINT-VENANT i83
1° Traction ou compressioyi. — Rappelons que si on prend
on a :
dX,
Prenons \ -\- ?V, =: ai<, a étant une constante réelle que nous introduisons parce que ; -\- ir^ iloil être infiniment petit. On aura :
i \ = rtX, Y, = ty \ l — kxz + *
$ étant une fonction de o: et de y que l'on peut supposer nulle. Avec cette particularisation, les quantités N,, N2, N3, T^, T2, T3 sont des constantes, qui sont même nulles, sauf N., qui produit la traction ou la compression.
2° Torsion. — Posons \ -\- i-r\ = i%zu, on en déduira :
-%yz
(^ = (J.XZ
t == con-t.
Étudions la manière dont une section droite se déforme et se déplace en projection.
Un point [x, y, z) devient [x -\-'\., y -\- -c^, z -\- C), sa projection est X -\-\, y -\- r,. Il a donc tourné autour de oz d'un angle rtz. Cet angle qui est le même pour tous les points de la section n'est pas le même pour toutes les sections droites ; il y a réellement une torsion.
Cherchons les forces qui la produisent. On a :
N3 = o car N3 = X5 4- 2y.
dz
et
dx (ly K clz Les composantes tangentielles :
( T< = u.^x 1 Ta = - u.'j.ij
ont une résultante perpendiculaire au ra3'on vecteur du point [x, y).
3° Flexion simple. — On pose :
c se réduit à oc et on a bien :
— = -2Ka.
Considérons les difTérentes molécules du corps qui se trouvent sur une même parallèle aux génératrices, on dit qu'elles forment une fibre. Après la déformation cette fibre ne reste pas rectiligne; pour étudier sa forme nous prendrons pour nouvel axe des z la position de la fibre avant la déformation, en conservant le plan des xy.
Les coordonnées d'un point de la fibre déformée sont l, -^ et z. Dans le cas général où l'on a :
l -{- i'ri = a -\- bu -\- eu*
\ et -ri seront du troisième degré en ^, la fibre déformée sera donc une cubique gauche.
Dans le cas de la traction, la fibre reste une droite parallèle à oz. Elle reste encore rectiligne, mais non parallèle à oz,
dans la torsion, car : et r, ?ont alors du premier degré en z. Pour le cas de la flexion simple que nous considérons, \ est une fonction du second degré de z, y, est indépendant de z ; les équations :
/ 7-, = ^"xxy
représentent une parabole située dans un plan parallèle au plan des z\.
Tout ceci ne doit pas être pris trop à la lettre; nous avons en effet négligé les carrés de \ et de y,, nous ne pouvons donc avoir qu'une première approximation. Par exemple, dans le ca« de la flexion, la flèche de la parabole étant petite on peut aussi bien l'assimiler à un arc de cercle.
Le seul fait important dans ce cas est que la fibre reste plane.
En posant
on a :
Y, ^= 2xxy
l = "iKyxz -f * {x. y)
ce qui donne :
Les expressions de N,, T,, Tj sont donc :
dy
ax
On aurait des formules analogues en permutant l et r^. 4° Flexion complexe. — Supposons qu'on prenne
ç -\- ir^ =^ %zu- — Ka ^ o
; et Y, changent de signe quand on change ^ en — z, la fibre déformée est donc une courbe à centre avec un point d'inflexion à l'origine.
Yj = ^%xyz est l'équation d'un plan qui contient la fibre déformée, ce plan n'est plus le même en direction pour toutes les fibres; il est toujours parallèle à ox mais fait avec oz un angle très petit, variable avec la fibre choisie. On conserve pour cela à zox le nom de plan de flexion.
Les expressions du déplacement seront :
l = oc^ (^.2 y2) Ka I ■f] = 'ixxyz \ Z, = Kzxz'^ -{- $ [x, y)
et nous trouverons pour les forces :
j N3 = 4oc [X 4- K (X + [j.)] zx j T. = .(.«„.. +1)
En permutant \ et tj, on aurait la sixième solution particulière.
Il semble que le problème que nous venons de résoudre est assez artificiel. Gomment Saint-Yenant a-t-il été amené à se le proposer? Dans les applications on a souvent à étudier les
PROBLÈME DK SAI.NT-VENAM 187
déformations de prismes soumis uniquement à des forces appliquées aux bases. Nous avons de ce problème six solutions particulières intéressantes.
Ce n'est pas ainsi en général que le problème se pose ; on donne les forces appliquées aux bases et on demande les déformations qui en résultent.
Composons entre elles les forces agissant sur les bases comme si le solide était invariable, il devra y avoir équilibre.
Sur chaque base toutes les forces se réduiront à trois forces parallèles aux axes et à trois couples dont les axes auront même direction que ces forces. Si donc l'on connaît les trois forces et les trois couples pour l'une des bases, on les connaîtra pour l'autre.
Supposons que l'on change la distribution des forces extérieures sur les bases et que néanmoins, en faisant leur composition comme précédemment, on retrouve les mêmes forces et les mêmes couples. Les deux distributions ne sont pas du tout équivalentes au point de vue théorique, mais, comme on s'occupe d'habitude de prismes de section faible par rapport à leur longueur, on peut admettre approximativement l'équivalence.
C'est ce que fait Saint-Venant ; il remplace dans chaque cas la distribution réelle par une autre plus simple donnant mêmes forces et mêmes couples résultants. Si alors on a une solution particuhère du problème, suffisamment générale pour que les forces et les couples résultants aient des valeurs quelconques, on pourra se faire une idée de la déformation d'un cylindre soumis à des forces quelconques.
Il faut pour cela six coefficients arbitraires. Nous les avons trouvés, le problème pratique est donc résolu.
188 LtÇONS SUR LA THÉORIE DE L'ÉLASTICITÉ
73. Théorème du moment fléchissant. — Considérons un cylindre ABA'B', soit CD une section droite quelconque. La portion ABCD sera en équilibre sous l'action des forces extérieures appliquées à la base AB, des actions moléculaires mutuelles et enfin de la réaction de la partie CDA'B', c'est-àdire des pressions sur les différente éléments de CD.
Soit d(}i un élément de CD ; le cylindre ayant ses génératrices parallèles à o~, les trois composantes de la pression sur cet élément seront:
Tof^O
l,ch
N/^ro.
Prenons pour origine le centre de gravité du cylindre et pour axes les axes principaux d'inertie relatifs à ce point.
Soit o' le point où l'axe des z perce CD, o'sera le centre de gravité de CD et les intersections o'x et o'y' de CD par les plans des zx et des zy seront les axes d'inertie de la section.
Composons entre elles les pressions élémentaires' appliquées sur CD suivant les règles de la statique.
Le résultat sera une force unique appliquée en o, qui est la pression résultante, et un couple, le couple résultant. Les moments de ce couple par rapport à o'x' et à o'y' seront appelés moinenis fléchissants ; le moment par rapport à osest alors dit 7v ornent de torsion.
Les projections de'la pression résultante sont :
Cb'
Tt^c/w, Çl^diù, Tn.
dk
Les moments fléchissants sont alors, puisque le moment de la pression résultante est nul :
/ yNg f/w pour o'x ,
— / o-Xg c/o) pour oy
Le moment de torsion est de même :
et
On peut trouver une autre expression de ces moments. Soient F les forces extérieures appliquées à la base AB.
Toutes les forces appliquées au tronçon ABCD doivent se faire équilibre. Or ce tronçon est soumis : 1° aux forces F ; 2'' aux actions mutuelles des molécules du tronçon ; 3'' à la réaction delà partie supérieure du prisme A'B'CD, c'est-à-dire aux pressions qui s'exercent sur les divers éléments de CD. Les actions mutuelles des molécules de ABCD étant égales et opposées, les forces F font seules équilibre aux pressions sur CD. par conséquent les trois composantes delà pression résultante sont au signe près égales à la somme des projections de toutes les forces F sur leur direction, et les moments fléchissants et de torsion sont égaux à la somme des moments des forces F par rapport à oj:\ o'y et o'z.
Considérons une libre quelconque du cylindre. Après la déformation, elle devient une courbe; rapportons-la à trois axes parallèles aux axes primitifs et dont l'un passe par la Bbre avant la déformation.
Les coordonnées d'un point quelconque de la fibre seront par rapport à ces nouveaux axes :
ou comme C très petit peut être négligé devant z :
Projetons la courbe sur le plan dos zx, la courbure de la projection au point H, z est :
1 dz-^
ou encore en négligeant le carré de — -
Je vais montrer que celle courbure est proporlio/inelie an ynoment fféchissanl. C'est en cela que consiste le théorème. Nous avons :
ç -|- «Tj = a -]- bu -f- c«- = / \u)
b et c étant du premier degré en z. Donc :
d'^l . d\ d^a^ dz'^ ~^ ' dz^ dz'^
ce qui entraîne
^ (d?a dz^ ~ \dz^
La courbure ne dépend pas de ^ et de ^ ; elle est donc la
PROBLÈME DE SAINT-VENANT liH
même pour la projection de toutes les fibres aux points où elles rencontrent une môme section droite. Soient :
Nous savons que :
Donc
Calculons le moment fléchissant pour o'?/ , c'est-à-dire
— / NyVdiû.
Nous avons:
et comme N, et N, sont nuls
AÔ -f- 2 a T^ = o ' dx
le -f 2a '^ = o ' dy
Ajoutons membre à membre ces trois égalités, il viendra
N3 = (3,\ + 2a) fj = ^ (3X-h2a) ^^ Mais, d'autre part :
c'est-à-dire :
£ = ^0 + 2coa^ - 2c^.v.
Le moment fléchissant est donc :
— / N3>r(iw=:-r-(3X-|-2[j.)- ^0 / œdii)-\-'2cQ / x^di» — 2c^ / xi/doi\
Parmi les inte'grales qui entrent dans le second membre deux sont nulles ;
/ xdio = 0, parce que o'est le centre de gravité delà section / œydoi = 0, parce que o'z est un axe d'inertie.
La troisième intégrale / x^diû est d'ailleurs le moment
d'inertie 1 de la section par rapport à o'i/. On a par suite :
d" et en tenant compte de la valeur trouvée pour ~,
J ^ l -{- IJ. dz^
Cette formule exprime le théorème cherché : A un facteur constant près qui ne dépend que de la nature du corps, le moment fléchissant par rapport à o'z' est le produit de la courbure de la projection d'une fibre déformée sur le plan de flexion x'o'z par le moment d'inertie de la section relatif à o'y'.
74. Moment de torsion. — Le théorème relatif au moment de torsion est un peu moins simple et un peu moins général que le précédent.
Il suppose que la section possède deux axes de symétrie rectangulaires.
Considérons, dans une section droite, deux courbes MM,, MMg et les tangentes en M à ces courbes. Après la déformation elles sortent de la section droite ; considérons alors leurs projections M''M'(, M"M2 sur cette section. Nous avons vu que l'angle des tangentes en M" était égal à l'angle primitif en M.
Je me propose de savoir de combien il a tourné, c'est-à-dire de déterminer l'angle de M"T^' avec MT,. Soit sur MM, un point M^ d'afïixe [x -\- iy), le point correspondant sur M''M'( est le point M'| dont l'affîxe est:
c'est-à-dire puisque
L'angle dont les tangentes ont tourné est évidemment l'ar-
sument de ^r- 1 c'est à-dire de (1 + ^ V ° du \ duj
Prenons en particulier pour les courbes MM, et MM2 les deux axes d'inertie principaux de la section. Nous avons :
% = h + ±nu da
et comme le point M a maintenant pour alïixe h = o :
Donc :
argument de (l +|) = arc ig^f^'
b^ et b^ sont du même ordre de grandeur que; et ïj; comme on néglige les carrés de ces dernières quantités on peut prendre approximativement :
La quantité ô^ sera ce que nous appellerons la rotation des axes.
Considérons maintenant deux sections droites infiniment voisines correspondant aux valeurs ^ et ^ -f- clz., la rotation des axes est différente pour ces deux sections, l'une des sections
db aura tourné par rapport à l'autre de l'angle — ^ • C'est cette quantité -—-■) c'est-à-dire la dérivée de la rotation par rapport à
2, que nous appellerons la torsion.
En supposant deux axes de symétrie rectangulaires à la section, nous allons montrer que la torsion est proportionnelle au moment de torsion.
Remarquons d'abord que b^ et b^ sont des binômes du premier degré en z:
I b,=.bl,^zbl I b, =b[^zb\
et que l'on a: 6^ = 0 d'après la condition «R ( — j = o
pour ^ = 0.
Je dis de plus que l'on peut faire b\ ■=. q.
En eiïet i,' est la rotation des axes dans la section moyenne ^ =r o et il suffit pour l'annuler d'imprimer à tout le cylindre une rotation égale et contraire, sans déformation.
On aura alors :
( b, =zb\
Je dis que le moment de torsion est proportionnel à èj.
L'axe des z intersection des deux plans de symétrie zox, zoy est un axe de symétrie. Si l'on a une position d'équilibre, on en déduit évidemment une autre en changeant ;, r,, x, y en — Ç, — r,, — x^ — y. Dans cette opération le moment de torsion
ne change pas.
D'autre part, changer ^ et y en — a; et — y, c'est changer î< en — M et par suite f [xi) en /"(— w). Si on remplace ensuite ; et r, par — ; et — y,, on aura :
\-\- V(^=z — f[ — u)-= — a -\- bu — CU-.
Or le moment de torsion dépend linéairement des coefficients de/" (m), comme il ne change pas il est indépendant de a etdec. C'est donc une fonction linéaire de è^ eti,'.
Le plan des zx est un plan de symétrie, si l'on remplace y et -^ par — y ci — Yj on aura encore une position déquilibre. Mais ici le moment de torsion a changé de signe. A quoi cela correspond-il ?
Changer y en— y, c'est changer u en û et par conséquent
f (m) en f (Ji) z= a -\- bu -{- cïr.
Remplacer -q par — ■(] transforme l -{- i'f\ en ^ — i/]. On a par conséquent :
c'est-à-dire
l — i-fl = a -{- bu -{- eu"
ç -|- rr, ~= a -\- bu -j- eu"
Les quantités a, b, c sont donc remplacées par les quantités conjuguées ; comme le moment de torsion change de signe, il ne dépend pas de Joli est donc proportionnel à b'I^.
La théorie élémentaire de la résistance des matériaux conduit à ce résultat et donne pour coefficient de proportionnalité le moment d'inertie de la section droite par rapport à son centre de gravité.
Si nous cherchons à l'aide de la théorie de Saint-Venant à calculer la vraie valeur de ce coefficient, nous trouverons qu'il est compliqué et dépend de la quantité Q. On obtiendrait le résultat de la théorie élémentaire, en supposant que les sections droites restent planes et perpendiculaires à oz.
75. Ces différents résultats peuvent s'énoncer sous une autre forme.
Considérons le cylindre avant la déformation : soient o le centre de gravité, oz la direction des génératrices, o'x' et o'y' les deux axes principaux d'inerlie d'une section droite.
Prenons sur oz un point o" infiniment voisin de o', soient o"x", o"y" les axes d'inertie de la section droite passant par o'^, ces axes sont parallèles à o'oo et o'y' ,
Posons o'o" = dz et déformons le cylindre.
L'axe oz devient une courbe, les points o' et o" viennent en 0,' et o,'. Les axes d'inertie en o' et o" deviennent des courbes. Considérons les tangentes o[cc{, o[y[, o'[x'[^ o'[y'[ à ces courbes en o[ et o'[, elles forment avec les tangentes à o[o'[ deux trièdres qui ont chacun, aux infiniment petits du second ordre près, un angle droit cic[o\y\ et œ'io'ly], les deux autres différant d'un droit par des infiniment petits du premier ordre.
Soient o[z[ et o'[z'[ les tangentes à lu courbe o[o'[ en o[ et en o'{.
Soit x^oly^ la projection de l'angle x[o[y[ sur un plan perpendiculaire à o{z[ ; l'angle des deux plans x^o[y'^ et x{o[y[ étant très petit, l'angle x'^ol^y!^ sera comme x[o[y[ égal à un droit aux infiniment petits près du second ordre.
Soit de même x'!,o'{y'.2 la projection de x'[o'[y'[ sur un plan perpendiculaire à o'[z'{.
Considérons les deux trièdres
o[x^y'^z[ et o'[xlylz'[
Chacun d'eux a deux faces rigoureusement rectangles et la troisième est rectangle aux infiniment petits près du second ordre.
Les deux trièdres sont égaux aux infiniment petits du second ordre près, on peut donc les faire coïncider. Considérons les trois composantes de la rotation nécessaire pour amener la coïncidence.
La composante suivant o^est la torsion multipliée par dz\ comme la torsion est proportionnelle au moment de torsion, cette composante est elle-même proportionnelle au moment de torsion.
La composante de la rotation suivant oy est égale à l'angle de contingence de la projection de l'axe oz déformé sur le plan des zx. Comme cet angle de contingence est propor-
tionnel à -t-;' c'est-à-dire au moment fléchissant relatif à o?/, dz-
la composante de la rotation suivant oy est proportionnelle à
ce moment.
Le même fait se reproduit pour la troisième composante.
Si donc nous représentons par o{M^ le moment du couple résultant, c'est-à-dire le vecteur dont les projections sont les moments fléchissants et le moment de torsion, pour avoir les composantes de la rotation nécessaire pour amener le trièdre o'[ sur le trièdre o{ il suffit de multiplier les projections de 0,'M, par des facteurs constants infiniment petits et différents pour les trois axes.
