Composition des déformations. — Considérons
un point M, soit M' sa position après une première déformation. Une autre déformation amène M en M" et M' en M'".
Si l'on fait subir au corps successivement ces deux déformations, le point M viendra en M'". Les deux points M et M' sont infiniment voisins; donc les vecteurs MM" et M'M'" qui représentent les déplacements de ces points peuvent être regardés comme égaux et parallèles. Le quadrilatère MM'M"'M" est donc un parallélogramme, c'est-à-dire cpic MM'" est la somme géométrique des déplacements MM" et M"M"' qu'éprouve le point M quand on soumet le corps successivement aux deux déformations.
13. Supposons que le corps conserve une forme invariable; il n'y a plus à proprement parler de déformation, mais un simple déplacement. Ce déplacement peut se décomposer en une translation et une rotation, la translation étant égale et parallèle au déplacement ;,,, t,^,, Co de l'origine, et la rotation ayant lieu autour d'un axe passant par cette mê.me origine. Cette rotation pourra être remplacée par trois autres p, ^, r effectuées autour des axes coordonnés. Les formules qui donnent le déplacement du point [x^ y, z) sont donc :
j ; = ;o -t- f/- — rij
\ '^1 = '^10 + ''^'^^ — i^^ ! X, =1^ ^ py —qx
Les dilatations et les glissements sont nuls dans un tel mouvement.
La réciproque n'est pas évidente; nous allons la démontrer, c'est-à-dire faire voir que, si les dilatations et les glissements sont nuls, le corps se déplace à la façon d'un solide invariable.
Notre hypothèse est que Ton a les relations :
dl l '■^^ i^ ^'^^^
dx~~ l dy dz
df\ j i^ j ^
dy \ dz dx
dX. \ dy\ d\
dz \ dx dy
Différencions la première des équations du dernier groupe par rapport à x^ la seconde par rapport à y, la troisième par rapport à z, et nous aurons :
dxdy dzdx d^\ . dK
dydz dxdy d\ ■, d^l
\ dzdx dydz On en déduit immédiatement :
dK d'-l d\
dxdy dydz dzdx
dl La relation — = o nous apprend que \ ne dépend que de
d^-l XI et 3-, et la relation -; — — ^ o montre que ç est la somme •^ dydz '
d'une fonction de y et d'une fonction de z.
On a donc :
l = n {y) + 'fi (^)
et de même :
•n = A (^) + ?2 (•'^) j; ^ f^ [ai) -f <p3 [y)
ÉTUDE CINÉMATIQUE DES DÉFORMATIONS lo
Transportons ces valeurs de l, ri, C dans les équations qui expriment que les glissements sont nuls :
£^ + ^ =odonneracp^(y) + /'2(^) = «cly (Iz
ce qui exige
'^'Ay) = -r'2 >} = P^ ■ ■
p étant une conslanle.
On aura de la même manière :
et en intégrant et portant les valeurs trouvées dans les formules qui donnent c, ■f\, ^ on obtient :
' -1 = -^10 -h ''^ — P^ ( ^ = ^0 + P!j — qx
^0' 'lo' ^0 élanl trois constantes d'intégration. Ce sont bien là les formules du déplacement d'un solide invariable. C. Q. F. D.
14. Rotation moyenne. — Considérons une déformation quelconque, et posons :
) dl \ dz'
\ dx
~~ dy
Le vecteur dont les composantes sont p, q,r, s'appellera la rotation moyenne.
Ce vecteur est indépendant du choix des axes. Nous allons en effet en indiquer une interprétation purement mécanique.
Soient : MM' le déplacement du point M qui a pour coordonnées x,y, z\ MU la rotation moyenne en ce point M
Considérons une sphère de rayon infiniment petit s ayant son centre au point M. Supposons-la remplie d'une matière homogène et chacun de ses points animé d'une vitesse représentée par le vecteur MM' de composantes ;, -r], X,, qu'on sait être indépendant du choix des axes (').
Cherchons le moment de la quantité de mouvement de la sphère par rapport à son centre. Ce moment est un vecteur dont les composantes suivant les axes sont les moments des quantités de mouvement de la sphère par rapport à ces axes.
Considérons un élément de cette sphère, appelons \x sa masse, x -\- ox, y -\- ly, z -{- oz ses coordonnées. Si on rapporte cet élément à des axes menés par le point M parallèlement aux axes primitifs, ses coordonnées seront ox, Sy, 8^, et sa vitesse aura pour composantes ç -f~ ^^^ ''l + ^> ^ + ^^•
Le moment de la quantité de mouvement du point par rapport à MA sera
Ij. [ly (Ç + SC) -oz{j^-\- Bti)] el celui de la sphère tout entière sera
(1) Pour que lo vecteur MM' représente à la fois un déplacement et une vitesse il faut supposer l'unilé de temps déterminée.
Evaluons cette somme :
dy
= î S.-«2' + i S:^^'^'- + i S^5*'' +1 Si-y^^-
Mais nous avons :
car M est le centre de gravité de la sphère.
ViiSajSî/ = VijLoyo^ = o car M^- et M« sont deux axes principaux d'inertie de la sphère, relatifs au point M.
Enfin y ^ ]j.ly- = 5' I étant le moment d'inertie de la sphère
par rapport à un de ses diamètres.
Donc :
et de même :
Le moment de la quantité de mouvement de la sphère par rapport à MA est donc :
2 \cly dz I ^■
Les projections sur les axes du moment de la quantité de mouvement de la sphère par rapport au point M sont donc Ip, Iq, Ir.
La rotation moyenne, qui a pour composantes p, q, r, est par suite, comme ce moment, une quantité indépendante du choix des axes.
15. Considérons le point M et une sphère infiniment petite ayantes point pour centre. Après la déformation, M vient en M', la sphère devient un ellipsoïde. Trois diamètres rectangulaires de la sphère deviennent trois diamètres conjugués de l'ellipsoïde ; donc, en général, il y a un trièdre trirectangle et un seul qui demeure trirectangle après la déformation : c'est celui qui correspond aux axes de l'ellipsoïde.
Considérons ce trièdre : on peut l'amener de sa position ancienne à la nouvelle par un simple déplacement, c'est-à-dire par une translation suivie d'une rotation autour du sommet. Nous allons montrer que cette rotation est la rotation moyenne au point M.
1° Si la rotation moyenne est nulle au point M, le trièdre reste parallèle à lui-même.
En effet, prenons comme origine le point M et pour axes les arêtes du trièdre. Les dilatations angulaires sont nulles :
d^ , dt\ dy dz
Mais on a aussi, puisque la rotation moyenne est nulle : dl, d-r^
Il s'ensuit:
dy dz
dy dz '
et les égalités obtenues par permutation circulaire.
Cela posé, une aréle quelconque du Irii'dre, MM, par exemple, qui est parallèle à ox reste parallèle à ox.
En effet, soient x, y, z les coordonnées de M ; x -\- Ix, y, z celles de M,.
Désignons par M' et M,' les positions nouvelles de M et de M,. M' a pour coordonnées x -\-\, y -j- r,, s- -j- !^; donc M'M| a pour projections Ix -}- 5;, Zy -[- ^t], Iz -\-V^\ Zy et Iz sont nuls par hypothèse.
D'autre part, 'Îy, = -— Ix, -y est nul, ot) l'est donc aussi ; il
en sera de même de o^.
Le vecteur M'M,' a des projections nulles sur oy et oz ; il est parallèle à ox ;
2" Considérons, en second lieu, le déplacement d'un solide invariable. On a entre les déplacements;, yj, s et les rotations p, q, r les relations :
î — îo
'1 = "lo
