X -\- Ix — \ — l\^ y -\- oy — -rj — or^, z -\- Zz — X, — o
Les projections du vecteur MM, sur les trois axes sont Ix — o;, ly — 071, ^^ — 5^^ î écrivons que ce vecteur est égal au rayon e de la sphère :
(8^ - Zlf + (oy - l-r,Y + (5^ - ^<? = e^.
Mais :
dx dy -^ ' dz
Donc:
[Ix — o;r = oa; — -r àx — -r ^V — dz
^ ' \ dx dy ^ dz
ou, en développant et négligeant [^les termes du quatrième
ordre infinitésimal :
(- - «0' = '■'''- (' - '' î) - ' fy '"'-'r ~ ' i '^-'^
Nous avons donc :
KKI+|)---(iH-i)---Kâ+|))"'
c'est-à-dire avec les notations adoptées:
Mais Sa? , Zy , oz sont les coordonnées de Mj par rapport à des axes parallèles aux premiers ayant pour origine M'.
Le lieu de Mj est par conséquent un ellipsoïde. On l'appelle ellipsoïde des déformations.
10. Dilatations principales. — Parmi toutes les directions issues de M', il y en a trois qui sont particulièrement remarquables, ce sont celles des axes de l'ellipsoïde. Les dilatations linéaires suivant ces axes sont dites dilataiïons princijiales ; on les désigne par 8^ , 83 , 03.
Les longueurs des axes de l'ellipsoïde sont alors :
Si l'on désigne par s une racine -de l'équation en 5 relative à l'ellipsoïde, l'axe correspondant a sera donné par la relation:
en dénotant par o la dilatation linéaire relativ'e à cet axe. Négligeons les puissances de o supérieures à la première, nous aurons, puisque
la relation :
L'équation i|ui donne 5 étant ici :
1 — 2ao
celle qui donnera o sera :
Les trois dilatations principales sont indépendantes du choix des axes. Donc les coefficients de l'équation en o ne changent pas lorsqu'on change la direction des axes.
Cette équation développée s'écrit :
(28)3 A^ (28)2 ^ A, (28) - A3 = o, où X^, Ao, A3 désignent les polynômes suivants:
A, = 2 (a, + a, + as) = 20,
On retrouve donc le fait que la quantité dénotée par 6 est indépendante du choix des axes de coordonnées.
Si l'on prenait comme axes les axes de l'ellipsoïde des déformations, les termes rectangles disparaîtraient de son équation. Cela montre que les glissements sont nuls dans les trois plans principaux de l'ellipsoïde.
Il y a donc, en général, un système de plans formant un trièdre trirectangle et tels que les glissements soient nuls pour ces plans.
11. Trois diamètres rectangulaires de la sphère deviennent après la déformation trois diamètres conjugués de ï ellipsoïde.
Il résulte des hypothèses faites sur la continuité des fonctions ç, -/, X, et de leurs dérivées que, si deux surfaces sont tangentes l'une à l'autre avant la déformation, elles le sont encore "après la déformation. Considérons donc trois diamètres rectangulaires de la sphère et les plans tangents à leurs extrémités, ils forment un cube circonscrit à la sphère. Après la déformation, la sphère devient un ellipsoïde, le cube un parailélipipède oblique dont les faces restent tangentes à l'ellipsoïde. Ces faces sont donc parallèles à trois plans diamétraux conjugués de l'ellipsoïde; les diamètres correspondants qui proviennent des diamètres rectangulaires de la sphère sont donc conjugués.
Les calculs faits plus haut montrent d'ailleurs que la sphère dérive de l'ellipsoïde par une transformation homographique conservant le plan de l'infini, et on sait qu'une telle transformation fait correspondre un système de diamètres conjugués à un système de diamètres conjugués.
