D = (DD-^) D
Ainsi la déformation D est la résultante de deux autres DD'-<etD',
et la rotation moyenne [p, g, r) est la somme géométrique des rotations moyennes partielles dues aux deux déformations composantes
DD' - ' et D'.
La rotation moyenne due à DD'~ ' est nulle, car c'est la somme des rotations moyennes dues à D et à D'"^. Donc, par cette opération le trièdre reste parallèle à lui-même.
La rotation du trièdre est alors dae uniquement à D', et ses composantes sont bien celles de la rotation moyenne en M.
16. Polynômes isotropes. — Considérons un polynôme homogène par rapport aux neuf dérivées:
dl d^ dl d-f] dx dy dz dx
nous dirons qu'il est isotrope si sa forme ne dépend pas du choix des axes. Cherchons les polynômes isotropes du second degré.
Nous savons déjà que 6 = — -f ^ + ^ est indépendant
du choix des axes, donc 6^ est un polynôme isotrope du second degré :
On a vu également plus haut ([ue
c'est-à-dire :
^2 — -'Zjdx dy Zu \dy) " ^dy dx
est aussi un polynôme isotrope.
Enfin la rotation moyenne étant un vecteur indépendant du choix des axes, le carré de sa longueur
ou
^—Zj\dy) Zjdydx
est un troisième polynôme isotrope.
Toutes les combinaisons linéaires çle 6^, Ag et B seront isotropes. Parmi toutes ces combinaisons nous remarquerons les deux suivantes :
4 Zj \dx dy dx dy
c'est-à-dire :
^ -ZjD [x , y)
et
Y a-l-il d'autres polynômes isotropes du second degré linéairement indépendants des trois premiers?
Considérons un polynônie isotrope du second degré par rapport aux neuf dérivées partielles.
Quand on change à la fois x , ?/ , ^ en — x , — ?/ , — z et ? , 71 , C en — ; , — t], — <; les dérivées ne changent pas, donc le polynôme ne change pas.
Le polynôme ne doit pas changer non plus quand on fait tourner les axes ; faisons tourner le trièdre d'un angle tt autour de oz, cela revient à changer
X, y en — ' x, — y et \, r, en — ç, — y,.
Donc le polynôme ne doit pas changer quand on change -S- et C en — ^^ et — C et par suite dans chaque terme l'ensemble des lettres ^ et Ç entre un nombre pair de fois.
Il en est de même de œ Qi\, y et t].
On s'assure aisément que les seuls termes satisfaisant à cette condition sont de l'une des quatre formes suivantes :
\dx) ' \dy) clx dy dy dx
On peut donc partager les termes des polynômes en quatre groupes. D'ailleurs le polynôme ne devant pas changer quand on permute les axes de toutes les manières possibles, comme dans cette opération les termes d'un même groupe s'échangent entre eux, ils doivent tous avoir même coefficient. Un polynôme isotrope du second degré sera donc une combi-
naison linéaire des quatre sommes:
Zj\dxJ ' ^dx
dx dy
2j\di/.
dy) jLudy dx
Nous connaissons trois de ces combinaisons linéaires. S'il y en avait plus de trois linéairement indépendantes, on en conclurait que les quatre sommes sont isotropes.
11 est facile de voir qu'il n'en est rien et que 2j(^) n'e5t pas isotrope. Il suffit de faire tourner les axes des x et des y de 7 dans le plan des xy. Cf. Tliéorie mathématique de la lumière (page 20).
