Déformations transversales et longitudinales
On dit qu'une déformation est transversale .|uand la dilatation cubique qui en résulte est nulle
0 = iî! -l ^' 4- 'A = o.
^ dx~^ dy^^ dz
Un volume quelconque est donc conservé en tant que volume par la déformation.
Une déformation est longitudinale quand la rotation moyenne est nulle, lorsque l'on a par conséquent:
^ ^ — dy dz
dl c/ri dl-tc^''
dr^ cjl
dx dy
OU, en d'autres termes, lorsque \dx -f- tfly -\- 'C.dz est une différentielle exacle.
Nous poserons alors :
\dx -j- '(\dy + Çf'-s' = d^.
On peut se demander, en adoptant cette définition, si une déformation peut être à la fois longitudinale et transversale. Si elle est longitudinale on a:
' dx
dy
\ ^ ~ dz
la condition de transversalité devient alors Acp =: o en posant;
c/-cp cP^ d^
Il suffit donc que cp satisfasse à l'équation de Laplace.
Cela [ne serait [pas possible pour un milieu indéfini, si on
suppose que la déformation est nulle à l'infini. On sait en
effet que, si une fonction cp satisfait dans tout l'espace à
l'équation
Aff = o
et si ses dérivées s'annulent à l'infini, elles sont identiquement nulles, car la fonction se réduit à une constante.
Il en est de même pour un milieu limité, si on suppose la déformation nulle à la surface.
ÉTUDE CINÉMATIQUE DES DÉFORMATIONS 'iS
Une déformation quelconque peut toujours être considérée comme la résultante de deux autres, l'une longitudinale, l'autre transversale, c'est-à-dire que, quelles que soient les quantités^, tj, ^, on peut trouver d'autres quantités ;,,-ri,, ^^•, ^2, 712, ^2 satisfaisant aux équations :
et aux deux conditions:
do: dy ' dz \.^dx ■\- r^.^dy -\- X^c/lz = différentielle exacte.
Nous avons posé:
fi — ^\É5 \^dx ' dy dz''
donc ici 6 se réduit à:
dx dy dz
Mais si nous supposons :
^^dx -{- 'r\^dy -]- t^dz = d-jj,
^2, ■ri2' ^2 seront les trois dérivées partielles de a.. Donc on aura :
fi = Acp.
6 est une fonction donnée quelconque de a;, y, z ;\\ suffit de
trouver la fonction cp satisfaisant à:
Considérons une matière attirante de densité -; — ? lepoten-
tiel dû à celte matière, qu'on suppose agir suivant la loi de Newton, satisfera précisément à la condition imposée.
^2' ■'Q2' '=2 étant ainsi déterminés, on aura l^, r^^, Ç^ par les formules
î:, = ^ - Ço
et le problème sera ainsi complètement résolu.
GH ATTITRE II
18. Il y a un très grand nombre de théuries de l'élasticité. Elles peuvent se ramener à deux classes : dans la première classe nous rangerons les théories fondées sur des hypothèses moléculaires; dans la seconde, celles dont les auteurs ont cherché à s'affranchit' de toute hypothèse sur la constitution intime des corps ; ces dernières théories sont en général basées sur la Thermodynanr-que.
Nous commencerons par étudier les théories de la première classe : d'abord ce sont les premières en date, et de plus elles nous aideront à mieux comprendre les autres. Nous considérons les corps comme formés de molécules de dimensions très petites par rapport aux distances qui les séparent. Ces molécules se comportent par suite comme des points matériels sur lesquels s'exercent des forces, fonction de leurs coordonnées; parmi ces forces, nous distinguerons les forces extérieures et les forces intérieures, c'est-à-dire celles qui résultent des actions des molécules les unes sur les autres.
