CHAPITRE X. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE BINAIRE. I 3q

menls qui constituent l'absolu, tandis que celles de la seconde série intervertissent ces deux éléments.

Si donc on suppose l'espace E orienté, les substitutions de la première série donnent

yz' = yz (mo&iinnz), tandis que celles de la seconde donnent

y' z' -= — yz ( mod i im tz ).

Pour celte raison, nous appellerons les premières des mouvements, tandis que les secondes seront des symétries. On remarquera que l'on a, suivant le cas,

Ax* = ±(X{l)Aa:«;

et dans le premier cas, il vient

(Xfi.) = u)f -+- Dw| ; dans le second

( V> = -A0A2(wf-H Do>l).

Si l'on oriente les éléments (#) et (#'), on pourra convenir de choisir toujours la même détermination pour ^±z(Ap.), et de faire

V/Â^=\/±(X[ji)/A^;

alors, dans le cas d'un mouvement, on aura

y' z' - - yz (mod^imiz);

dans le cas d'une symétrie, on aura de même

y1 ' z' '= — yz (modqtm'iî).

130. Plaçons-nous maintenant dans le cas spécial. Si nous écrivons que la substitution a- transforme l'absolu en lui-même, ce qui, comme plus haut, est une condition nécessaire et suffisante, en faisant

nous avons d'abord

Ax Aa A] A2

I jJO LIVRE I. — LA GÉOMÉTRIE BINAIRE.

d'où

x i = A 2 toj x\ — A2 ( A2 W3 — &*)x\ •

T.2 = Aj( A, w3 — ii),)^', ■+- At a)2^';.

A, A2 n'étanl pas nul, avec

(Xfi)= Ai A2w3( A|0)2-+- A2to, — A! A.jo>3 1. w,, (o2, w3 ('-tant trois paramètres arbitraires; la valeur commune des rapports ~ el .' est d'ailleurs A, A2w3. Dans ce cas on a

et le rapport des distances yz el y*z? est constant : la substitution 9 est alors dite une similitude, caractérisée par le rapport

constanl = > dil rapport de similitude

Ce rapport esl facile à exprimer en fonction des invariants de l'homographie délinir par 9.

La substitution 9 esl un mouvement ou une symétrie, si Le rapport de similitude esl égal à 1 ou à 1.

131. Dans le cas général, un mouvement est une homographie dont les éléments doubles sonl les éléments de l'absolu : il en résulte que la distance de d<u\ éléments correspondants (x) el(x') est constante el s'exprime à l'aide des invariants de celte homographie. < >n a aisémenl

xx' ci, . a 1 to2 \/[)

cos = 1 sin . — = . ;

■■*"» v*W) '"" v(*fO

cette constante ,r.r' est la grandeur du mouvement. I hiand to, = o, l'homographie est une involution, et

xx' = ± im ~ :

chaque élément esl changé en celui qui lui est perpendiculaire.

Une symétrie est une involution dont l'absolu est un couple

particulier; si donc (bli)) et (7/- ) en sont les éléments doubles,

perpendiculaires entre eux, deux éléments correspondants (x) et